Considere os vetores
e
. Determine
sabendo que
é ortogonal ao eixo
, que
e que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um vetor
que tem algumas características específicas. Primeiro,
precisa ser ortogonal ao eixo
, o que significa que a componente
de
é zero. Além disso,
deve satisfazer duas condições de produto interno:
e
. Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produtos internos e condições de ortogonalidade, para resolver isso.
Passo 2
Como
é ortogonal ao eixo
, isso significa que a componente
de
é zero. Então, podemos escrever
como:
Passo 3
Agora, vamos usar as condições de produto interno dadas. O produto interno entre dois vetores
e
é calculado da seguinte forma:
Passo 4
Primeiro, vamos aplicar a condição
. Sabendo que
e
, temos:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a segunda condição
. Sabendo que
e
, temos:
Passo 6
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos resolver pela substituição ou pela eliminação. Vou optar pela eliminação.
Passo 7
Vamos multiplicar a Equação 2 por 2 para alinhar os coeficientes de
:
Agora, temos:
Passo 8
Agora, vamos subtrair a Equação 3 da Equação 1:
Passo 9
Agora que temos
, vamos substituir esse valor na Equação 2 para encontrar
:
Resposta
O vetor
que satisfaz todas as condições é: