Considere os vetores u = (2, 3, -1) e v = (1, -1, 2). Determine w sabendo que w é ortogonal ao eixo z, que <vec{w}, <vec{u}> = 10 e que ⟨w, v⟩ = -5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um vetor w que tem algumas características específicas. Primeiro, w precisa ser ortogonal ao eixo z, o que significa que a componente z de w é zero. Além disso, w deve satisfazer duas condições de produto interno: e . Vamos usar conceitos de álgebra vetorial, como produtos internos e condições de ortogonalidade, para resolver isso.

Passo 2

Como w é ortogonal ao eixo z, isso significa que a componente z de w é zero. Então, podemos escrever w como:

Passo 3

Agora, vamos usar as condições de produto interno dadas. O produto interno entre dois vetores e é calculado da seguinte forma:

Passo 4

Primeiro, vamos aplicar a condição . Sabendo que e , temos:
çã

Passo 5

Agora, vamos aplicar a segunda condição . Sabendo que e , temos:
çã

Passo 6

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos resolver pela substituição ou pela eliminação. Vou optar pela eliminação.

Passo 7

Vamos multiplicar a Equação 2 por 2 para alinhar os coeficientes de :
çã
Agora, temos:
çãçã

Passo 8

Agora, vamos subtrair a Equação 3 da Equação 1:

Passo 9

Agora que temos , vamos substituir esse valor na Equação 2 para encontrar :

Resposta

O vetor w que satisfaz todas as condições é:

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