Sejam u = (1, -1, 0) e vec(v) = (1, 1, -1).
© Determine todos vetores ortogonais a u e v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte © do exercício. O enunciado nos dá dois vetores, e . A gente precisa encontrar todos os vetores que são ortogonais a ambos, ou seja, que formam um ângulo de 90 graus com u e com v. Para isso, vamos usar a produção vetorial, que nos ajuda a encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o produto vetorial de dois vetores e . A fórmula é:
Esse vetor resultante será perpendicular a ambos u e v.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com nossos vetores:
Calculando cada componente:
  1. Primeira componente:
  1. Segunda componente:
  1. Terceira componente:
Então, o produto vetorial é:

Passo 4

Esse vetor é perpendicular a ambos u e v. Porém, a questão pede todos os vetores ortogonais a u e v. Como qualquer múltiplo escalar de também será perpendicular a u e v, podemos expressar a solução como:
Onde k é qualquer número real.

Resposta

Todos os vetores ortogonais a u e v são múltiplos escalares de . Ou seja,

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