(ఏ) Calcule o centro de massa (\bar{x}, \bar{y})=\left(\frac{1}{\operatorname{srea}(R)} \iint x d x d y, \frac{1}{\operatorname{drea}(R)} \iint y d x d y\right) d a regia R definida por 0 \leqslant x \leqslant \pi e 0 \leqslant y \leqslant \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa (centroide) da região R dada por
0 \le x \le \pi,\qquad 0 \le y \le \sin x.
As perguntas explícitas são: calcular \bar{x} e \bar{y} definidos por
\bar{x}=\frac{1}{\operatorname{area}(R)}\iint_{R} x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{\operatorname{area}(R)}\iint_{R} y\,dA.
Informações relevantes fornecidas:
\text{região }R=\{(x,y)\mid 0\le x\le\pi,\\\ 0\le y\le \sin x\}.ã
Nada mais é dado; vamos usar essas expressões para calcular a área de R e os dois integrais duplos.

Passo 2

Fórmulas e estratégia (aulas rápidas e claras):
\text{Área }A=\iint_{R} dA.Á
Aqui dA é o elemento de área (fazendo integração em y e depois em x neste caso). Para uma região de tipo vertical como esta (onde y vai de 0 a \sin x para x entre 0 e \pi), os integrais duplos viram integrais iteradas:
\iint_R f(x,y)\,dA=\int_{x=0}^{\pi}\left(\int_{y=0}^{\sin x} f(x,y)\,dy\right)dx.
Portanto:
A=\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{\sin x} 1\,dy\right)dx,
\iint_R x\,dA=\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{\sin x} x\,dy\right)dx,
\iint_R y\,dA=\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{\sin x} y\,dy\right)dx.
Vou calcular A primeiro, depois os dois integrais para \bar{x} e \bar{y}. Explicarei cada técnica usada (integração direta, por partes, e identidade trigonométrica).

Passo 3

Cálculo da área A:
A=\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{\sin x} 1\,dy\right)dx =\int_{0}^{\pi} \big[ y \big]_{y=0}^{y=\sin x}\,dx =\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx.
Agora integrando \sin x:
\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx = \big[ -\cos x \big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0)= -(-1)-(-1)=2.
Logo
A=2.
Comentário didático: o elemento interno \int_0^{\sin x}1\,dy conta a “altura” da região para cada x; integrar essa altura de 0 a \pi dá a área total.

Passo 4

Cálculo de \bar{x}. Primeiro escrevemos o integral:
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint_R x\,dA =\frac{1}{A}\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{\sin x} x\,dy\right)dx.
A integral interna em y trata x como constante:
\int_{0}^{\sin x} x\,dy = x\big[ y \big]_{0}^{\sin x} = x\sin x.
Então
\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx,
pois A=2. Agora precisamos calcular \int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx. Usamos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos u=x (porque derivando vira 1) e dv=\sin x\,dx. Então
u=x\Rightarrow du=dx,\qquad dv=\sin x\,dx\Rightarrow v=\int \sin x\,dx = -\cos x.
Aplicando:
\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = \big[ -x\cos x \big]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x\,dx.
Calcule as partes separadamente:
\big[ -x\cos x \big]_{0}^{\pi} = -\pi\cos\pi - ( -0\cdot\cos 0)= -\pi(-1)=\pi.
\int_{0}^{\pi} \cos x\,dx = \big[ \sin x \big]_{0}^{\pi} = \sin\pi - \sin 0 = 0.
Somando,
\int_{0}^{\pi} x\sin x\,dx = \pi + 0 = \pi.
Portanto
\bar{x}=\frac{1}{2}\cdot \pi = \frac{\pi}{2}.
Didaticamente: é comum que a coordenada \bar{x} para regiões simétricas em x-direção caia no meio do intervalo; aqui a simetria do seno sobre [0,\pi] leva a \bar{x}=\pi/2.

Passo 5

Cálculo de \bar{y}. Começamos pelo integral:
\bar{y}=\frac{1}{A}\iint_R y\,dA =\frac{1}{A}\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{\sin x} y\,dy\right)dx.
A integral interna em y é
\int_{0}^{\sin x} y\,dy = \left[ \tfrac{1}{2}y^{2} \right]_{0}^{\sin x} = \tfrac{1}{2}\sin^{2}x.
Logo
\bar{y}=\frac{1}{A}\int_{0}^{\pi} \tfrac{1}{2}\sin^{2}x\,dx = \frac{1}{2A}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx.
Com A=2 isso vira
\bar{y}=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx.
Agora usamos a identidade trigonométrica para \sin^{2}x:
\sin^{2}x = \frac{1-\cos 2x}{2}.
Então
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos 2x\,dx.
Calcule cada parte:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx = \frac{1}{2}\big[ x \big]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2}.
\int_{0}^{\pi}\cos 2x\,dx = \left[ \tfrac{1}{2}\sin 2x \right]_{0}^{\pi} = \tfrac{1}{2}(\sin 2\pi - \sin 0)=0.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx = \frac{\pi}{2}.
Substituindo em \bar{y}:
\bar{y}=\frac{1}{4}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{8}.
Comentário: \bar{y} fica bem abaixo do máximo \sin x=1 porque a região tem mais “área” para valores médios de y próximos de zero do que perto de y=1.

Resposta

\bar{x}=\dfrac{\pi}{2}
\bar{y}=\dfrac{\pi}{8}

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