(ఏ) Calcule o centro de massa
regia
definida por
e
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa (centroide) da região
dada por
As perguntas explícitas são: calcular
e
definidos por
Informações relevantes fornecidas:
Nada mais é dado; vamos usar essas expressões para calcular a área de
e os dois integrais duplos.
Passo 2
Fórmulas e estratégia (aulas rápidas e claras):
Aqui
é o elemento de área (fazendo integração em
e depois em
neste caso). Para uma região de tipo vertical como esta (onde
vai de
a
para
entre
e
), os integrais duplos viram integrais iteradas:
Portanto:
Vou calcular
primeiro, depois os dois integrais para
e
. Explicarei cada técnica usada (integração direta, por partes, e identidade trigonométrica).
Passo 3
Cálculo da área
:
Agora integrando
:
Logo
Comentário didático: o elemento interno
conta a “altura” da região para cada
; integrar essa altura de
a
dá a área total.
Passo 4
Cálculo de
. Primeiro escrevemos o integral:
A integral interna em
trata
como constante:
Então
pois
. Agora precisamos calcular
. Usamos integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
Escolhemos
(porque derivando vira
) e
. Então
Aplicando:
Calcule as partes separadamente:
Somando,
Portanto
Didaticamente: é comum que a coordenada
para regiões simétricas em
-direção caia no meio do intervalo; aqui a simetria do seno sobre
leva a
.
Passo 5
Cálculo de
. Começamos pelo integral:
A integral interna em
é
Logo
Com
isso vira
Agora usamos a identidade trigonométrica para
:
Então
Calcule cada parte:
Portanto
Substituindo em
:
Comentário:
fica bem abaixo do máximo
porque a região tem mais “área” para valores médios de
próximos de zero do que perto de
.