Calcule o centro de massa da chapa fina S dada por
e
e
, sendo
a densidade superficial.
PARADA
PARADA
Passo 1
Beleza, mano! O exercício pede pra achar o centro de massa de uma chapa fina S em
, que vem dada pela parametrização
com
e
. A densidade superficial é
Então, o que precisamos:
- Entender como fazer integral de superfície (usar vetor parâmetro, calcular
e a área elementar). - Montar a massa total
. - Montar as coordenadas do centro de massa
A partir do próximo passo, a gente começa a resolver.
Passo 2
Primeiro, montamos o vetor posição
Daí calculamos
Para integral de superfície, o “tamanho” do elemento é
Fazendo o produto vetorial:
então
Ou seja,
dS = raiz6,du,dv .
Passo 3
Agora a densidade em termos de
u,v é
Logo o elemento de massa é
A massa total é
Calculando em duas etapas:
-
integral0^1(2u+3v),du = l[u^2 + 3v,ur]0^1 = 1 + 3v -
integral0^1(1 + 3v),dv = 1 + tfrac32 = tfrac52
Então
Passo 4
Pra
bar x , a fórmula é
Fazendo a integral:
integral dupla u(2u+3v),du,dv = integral0^1!!integral0^1(2u^2+3uv),du,dv
-
integral0^1(2u^2+3uv),du = tfrac23 + tfrac32,v -
integral0^1l(tfrac23 + tfrac32,vr)dv = tfrac23 + tfrac34 = tfrac1712
Multiplica por e divide porraiz6 :M=tfrac5raiz62
Passo 5
Do mesmo jeito para
bar y :
-
integral0^1(2uv+3v^2),du = v + 3v^2 -
integral0^1(v+3v^2),dv = tfrac12 + 1 = tfrac32
Então , multiplica porintegral dupla = tfrac32 e divide porraiz6 :M
Passo 6
Pra
bar z , usamos
z = u+2v :
Expande:
(u+2v)(2u+3v)=2u^2+7uv+6v^2 .
-
integral0^1(2u^2+7uv+6v^2),du = tfrac23 + tfrac72,v +6v^2 -
integral0^1l(tfrac23 + tfrac72,v +6v^2r)dv = tfrac23 + tfrac74 + 2 = tfrac5312
Multiplica por e divide porraiz6 :M
Resposta
O centro de massa da chapa é