Calcule o centro de massa da chapa fina S dada por x=u, y=v e z=u+2 v, 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1, sendo f(x, y, x)=x+y+z a densidade superficial.
PARADA

Passo 1

Beleza, mano! O exercício pede pra achar o centro de massa de uma chapa fina S em R^3, que vem dada pela parametrização
x = u, y = v, z = u + 2v,
com 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1. A densidade superficial é
f(x,y,z) = x + y + z
Então, o que precisamos:
  1. Entender como fazer integral de superfície (usar vetor parâmetro, calcular ru times rv e a área elementar).
  2. Montar a massa total M = integral duplaS f,dS.
  3. Montar as coordenadas do centro de massa
bar x = 1Mintegral duplaS x,f,dS, bar y = 1Mintegral duplaS y,f,dS, bar z = 1Mintegral duplaS z,f,dS
A partir do próximo passo, a gente começa a resolver.

Passo 2

Primeiro, montamos o vetor posição
r(u,v) = l(u,,v,,u+2vr)
Daí calculamos
ru = partial rpartial u = (1,0,1), rv = partial rpartial v = (0,1,2)
Para integral de superfície, o “tamanho” do elemento é
l|rutimes rvr| = l|(1,0,1)times(0,1,2)r|
Fazendo o produto vetorial:
rutimes rv = (-1,,-2,,1),
então
|rutimes rv| = raiz(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2 = raiz6
Ou seja, dS = raiz6,du,dv.

Passo 3

Agora a densidade em termos de u,v é
f = x+y+z = u + v + (u+2v) = 2u + 3v
Logo o elemento de massa é
dM = f,dS = (2u+3v),raiz6,du,dv
A massa total é
M = integral duplaS dM = raiz6integral0^1!!integral0^1(2u+3v),du,dv
Calculando em duas etapas:
  1. integral0^1(2u+3v),du = l[u^2 + 3v,ur]0^1 = 1 + 3v
  2. integral0^1(1 + 3v),dv = 1 + tfrac32 = tfrac52
    Então
M = raiz6,52 = 5raiz62

Passo 4

Pra bar x, a fórmula é
bar x = 1Mintegral duplaS x,dM = 1Mintegral duplaS u,(2u+3v),raiz6,du,dv
Fazendo a integral:
integral dupla u(2u+3v),du,dv = integral0^1!!integral0^1(2u^2+3uv),du,dv
  1. integral0^1(2u^2+3uv),du = tfrac23 + tfrac32,v
  2. integral0^1l(tfrac23 + tfrac32,vr)dv = tfrac23 + tfrac34 = tfrac1712
    Multiplica por raiz6 e divide por M=tfrac5raiz62:
bar x = raiz6cdot17125raiz62 = 1712cdot25 = 1730

Passo 5

Do mesmo jeito para bar y:
bar y = 1Mintegral duplaS v,(2u+3v),raiz6,du,dv = raiz6Mintegral0^1!!integral0^1(2uv+3v^2),du,dv
  1. integral0^1(2uv+3v^2),du = v + 3v^2
  2. integral0^1(v+3v^2),dv = tfrac12 + 1 = tfrac32
    Então integral dupla = tfrac32, multiplica por raiz6 e divide por M:
bar y = raiz6cdot325raiz62 = tfrac32tfrac52 = 35

Passo 6

Pra bar z, usamos z = u+2v:
bar z = 1Mintegral duplaS (u+2v),(2u+3v),raiz6,du,dv
Expande: (u+2v)(2u+3v)=2u^2+7uv+6v^2.
  1. integral0^1(2u^2+7uv+6v^2),du = tfrac23 + tfrac72,v +6v^2
  2. integral0^1l(tfrac23 + tfrac72,v +6v^2r)dv = tfrac23 + tfrac74 + 2 = tfrac5312
    Multiplica por raiz6 e divide por M:
bar z = raiz6cdot53125raiz62 = 5312cdot25 = 5330

Resposta

O centro de massa da chapa é
boxedl(bar x,bar y,bar zr) = l(tfrac1730,,tfrac35,,tfrac5330r)

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