Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização
da função no ponto dado.
5)
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Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é diferenciável em
e, em seguida, calcular sua linearização
nesse ponto. O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis, derivadas parciais e fórmula de linearização pelo plano tangente.
Passo 2
Para ver que
é diferenciável em todo
, note que
onde
.
-
é uma função linear (logo diferenciável). -
é diferenciável para todo , pois
é contínua.
Pela regra da cadeia, é diferenciável em todo ponto, inclusive em
.
Pela regra da cadeia,
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais de
. Pela regra da cadeia, se
então
No ponto
temos
, logo
Passo 4
A linearização de
em
é dada por
Sabendo que
, obtemos