Explique porque a função é diferenciável no ponto dado. Faça então a linearização L(x, y) da função no ponto dado.
5) f(x, y)=tg^-1(x+2 y),(1,0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x,y)=arctan(x+2y)
é diferenciável em (1,0) e, em seguida, calcular sua linearização L(x,y) nesse ponto. O conteúdo envolve diferenciabilidade de funções de duas variáveis, derivadas parciais e fórmula de linearização pelo plano tangente.

Passo 2

Para ver que f é diferenciável em todo R^2, note que
f = arctancirc g,
onde g(x,y)=x+2y.
  1. g é uma função linear (logo diferenciável).
  2. arctan(u) é diferenciável para todo u, pois
dduarctan(u)=11+u^2
é contínua.
Pela regra da cadeia, f é diferenciável em todo ponto, inclusive em (1,0).

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais de f. Pela regra da cadeia, se u=x+2y então
partial fpartial x =11+u^2cdotpartial upartial x =11+(x+2y)^2,
partial fpartial y =11+u^2cdotpartial upartial y =21+(x+2y)^2
No ponto (1,0) temos x+2y=1, logo
partial fpartial x(1,0)=11+1^2=tfrac12, partial fpartial y(1,0)=21+1^2=1

Passo 4

A linearização de f em (1,0) é dada por
L(x,y) = f(1,0) + partial fpartial x(1,0),(x-1) + partial fpartial y(1,0),(y-0)
Sabendo que f(1,0)=arctan(1)=pi/4, obtemos
L(x,y) =pi4 +12,(x-1) +1cdot y

Resposta

L(x,y)=pi4+12(x-1)+y

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