Encontre o valor exato de cada expressão.
(b) cos (2 sen^-1(s13))

Passo 1

O enunciado pede para calcular exatamente
cosl(2sen^-1l(tfracs13r)r)
O conteúdo aqui é identidades trigonométricas de ângulo duplo e a relação entre a função inversa sen^-1 e um triângulo retângulo.

Passo 2

Definimos
alpha = sen^-1l(tfracs13r),
logo senalpha = tfracs13. Como alphain[-tfracpi2,tfracpi2], temos cosalpha>=0. Pela identidade de Pitágoras, a partir de sen^2alpha + cos^2alpha = 1, obtemos
cosalpha = raiz1 - sen^2alpha = raiz1 - l(tfracs13r)^2 = raiz169 - s^213

Passo 3

Usamos a identidade do ângulo duplo
cos(2alpha) = cos^2alpha - sen^2alpha
Substituindo senalpha=tfracs13 e cosalpha=tfracraiz169-s^213, resulta
cos(2alpha) = l(tfracraiz169-s^213r)^2 ;-;l(tfracs13r)^2 = 169 - s^2169 - s^2169

Passo 4

Agrupando termos sobre o mesmo denominador, temos
cos(2alpha) = 169 - s^2 - s^2169 = 169 - 2,s^2169
Mas cos(2alpha)=cosl(2sen^-1(s/13)r), que é justamente o que queríamos.

Resposta

cosl(2sen^-1l(tfracs13r)r) = 169 - 2,s^2169

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