Calcule o momento de inércia em relação ao eixo z da chapa fina S dada por x=u, y=v e z=u+2 v, 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 1, sendo f(x, y, x)=x+y+z a densidade superficial.

Passo 1

O que diz o exercício? Queremos achar o momento de inércia em relação ao eixo z de uma chapa fina S parametrizada por
x=u, y=v, z=u+2v, 0<= u<=1, 0<= v<=1,
com densidade superficial
sigma(x,y,z)=x+y+z
Conteúdo envolvido: integrais de superfície, densidade superficial e definição de momento de inércia (distância ao eixo z). Vamos precisar parametrizar S, calcular o elemento de área dS e montar a integral
Iz=integral duplaS (x^2+y^2),sigma(x,y,z),dS

Passo 2

Definindo a parametrização
r(u,v)=(u,;v,;u+2v),
temos as derivadas parciais
ru=(1,0,1), rv=(0,1,2)
O produto vetorial dá
rutimes rv = i& j& k 1&0&1 0&1&2 =(-1,,-2,;1),
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|rutimes rv|=raiz(-1)^2+(-2)^2+1^2=raiz6,
e assim
dS=raiz6,du,dv

Passo 3

Expressão da densidade em (u,v):
sigma(u,v)=x+y+z=u+v+(u+2v)=2u+3v
A distância ao eixo z é rperp=raizx^2+y^2=raizu^2+v^2, então o integrando do momento é
(x^2+y^2),sigma(x,y,z) =(u^2+v^2),(2u+3v)

Passo 4

Montando a integral de superfície:
Iz =integral duplaS (x^2+y^2),sigma,dS =integral0^1!!integral0^1 (u^2+v^2)(2u+3v),raiz6;du,dv
Tiramos raiz6 para fora e expandimos:
(u^2+v^2)(2u+3v)=2u^3+3u^2v+2uv^2+3v^3
Então
Iz =raiz6integral0^1!!integral0^1l(2u^3+3u^2v+2uv^2+3v^3r),du,dv
Integramos termo a termo:
  • integral0^1!integral0^1 2u^3,du,dv=2cdot14cdot1=tfrac12,
  • integral0^1!integral0^1 3u^2v,du,dv=tfrac12,
  • integral0^1!integral0^1 2uv^2,du,dv=tfrac13,
  • integral0^1!integral0^1 3v^3,du,dv=tfrac34
Somando:
tfrac12+tfrac12+tfrac13+tfrac34 =1+tfrac13+tfrac34 =tfrac2512

Passo 5

Multiplicando pelo raiz6 que ficou fora da integral, obtemos
Iz=raiz6;2512=25raiz612

Resposta

Iz=25raiz612,.

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