Calcule o momento de inércia em relação ao eixo da chapa fina S dada por e , sendo a densidade superficial.
Passo 1
O que diz o exercício? Queremos achar o momento de inércia em relação ao eixo de uma chapa fina parametrizada por
com densidade superficial
Conteúdo envolvido: integrais de superfície, densidade superficial e definição de momento de inércia (distância ao eixo ). Vamos precisar parametrizar , calcular o elemento de área e montar a integral
Passo 2
Definindo a parametrização
temos as derivadas parciais
O produto vetorial dá
logo
|rutimes rv|=raiz(-1)^2+(-2)^2+1^2=raiz6,
e assim
dS=raiz6,du,dv
Passo 3
Expressão da densidade em (u,v):
sigma(u,v)=x+y+z=u+v+(u+2v)=2u+3v
A distância ao eixo z é rperp=raizx^2+y^2=raizu^2+v^2, então o integrando do momento é
(x^2+y^2),sigma(x,y,z) =(u^2+v^2),(2u+3v)
Passo 4
Montando a integral de superfície:
Iz =integral duplaS (x^2+y^2),sigma,dS =integral0^1!!integral0^1 (u^2+v^2)(2u+3v),raiz6;du,dv
Tiramos raiz6 para fora e expandimos:
(u^2+v^2)(2u+3v)=2u^3+3u^2v+2uv^2+3v^3
Então
Iz =raiz6integral0^1!!integral0^1l(2u^3+3u^2v+2uv^2+3v^3r),du,dv