Calcule os centro de massa: De um cone circular reto homogêneo de altura 4 e raio da base 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de física envolvendo o centro de massa. A gente tem um cone circular reto homogêneo com altura de 4 unidades e raio da base de 5 unidades. Nosso objetivo aqui é encontrar onde está localizado o centro de massa desse cone. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de cálculo integral aplicados à distribuição de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o centro de massa de um objeto homogêneo é o ponto onde a massa está igualmente distribuída. Para objetos simétricos como um cone, o centro de massa fica ao longo do eixo de simetria.

Passo 3

Vamos considerar o eixo vertical do cone como o eixo z. A altura total do cone é e o raio da base é . Como o cone é reto e homogêneo, podemos usar a seguinte fórmula para encontrar a coordenada z do centro de massa:
Onde é o volume do cone.

Passo 4

Calculando o volume do cone, usamos a fórmula padrão:
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos expressar um elemento de volume em termos de z. Em uma seção horizontal a uma altura z, o raio correspondente do cone é proporcional a z:
Então, a área dessa seção é:
E o elemento de volume é:

Passo 6

Agora, vamos substituir na integral para encontrar :
Simplificando:

Passo 7

Calculando a integral:
Então:

Resposta

O centro de massa do cone está localizado a 3 unidades acima da base.

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