Se ||u|| = raiz(3), ||v|| = 2 e <u>u</u>, <u>v</u> = -3, determine o ângulo entre u e v.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema de vetores aqui. A gente sabe o tamanho (norma) dos vetores u e v, que são e , respectivamente. Além disso, conhecemos o produto interno entre eles, que é . Nosso objetivo é descobrir o ângulo entre esses dois vetores. Para isso, vamos usar a fórmula do produto interno que relaciona os vetores com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula do produto interno:
Essa fórmula nos diz que o produto interno entre dois vetores é igual ao produto de suas normas multiplicado pelo cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Vamos substituir os valores que a gente conhece na fórmula. Sabemos que:
Então, substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos as normas:
Então, a equação fica:
Agora, isolamos dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para :
Agora, sabemos que .

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, precisamos determinar o arco cujo cosseno é . Sabemos que:
Então, radianos. Se preferir em graus:

Resposta

O ângulo entre u e v é .

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