Calcule o centro de massa.
delta(x, y) = y e B o quadrado 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o centro de massa de uma região quadrada que vai de 0 a 1 tanto em quanto em , ou seja, e . A densidade da massa nessa região é dada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral que envolvem integrais duplas para encontrar as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o centro de massa é dado pelas fórmulas:
Aqui, representa a integral dupla sobre a região , e é o elemento de área.

Passo 3

Vamos calcular a massa total , que é a integral da densidade sobre a região :
Como é o quadrado de a em ambos os eixos, podemos expressar a integral como:
Integrando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Usando a fórmula:
Calculando a integral no numerador:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Calculando a integral no numerador:
Então,

Resposta

O centro de massa da região é .

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