Calcule o centro de massa.
e
o quadrado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o centro de massa de uma região quadrada
que vai de 0 a 1 tanto em
quanto em
, ou seja,
e
. A densidade da massa nessa região é dada por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral que envolvem integrais duplas para encontrar as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o centro de massa
é dado pelas fórmulas:
Aqui,
representa a integral dupla sobre a região
, e
é o elemento de área.
Passo 3
Vamos calcular a massa total
, que é a integral da densidade sobre a região
:
Como
é o quadrado de
a
em ambos os eixos, podemos expressar a integral como:
Integrando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Usando a fórmula:
Calculando a integral no numerador:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
Calculando a integral no numerador:
Então,
Resposta
O centro de massa da região é
.