Derive. f(x) = csc(x) + e^x cot(x)

Passo 1

Beleza, então a gente tem que derivar a função . Isso faz parte da matéria de cálculo, mais especificamente da parte de derivadas de funções trigonométricas e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas como e , além de funções exponenciais como . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar . A função é o inverso do seno, ou seja, . A derivada de é conhecida e vale . Então, já temos a derivada da primeira parte da função.

Passo 3

Agora, vamos derivar a segunda parte da função, que é . Aqui, temos o produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a Regra do Produto, que diz que se temos duas funções e , então a derivada de é .

Passo 4

Vamos identificar e . Primeiro, derivamos :
Em seguida, derivamos :
Então, aplicando a Regra do Produto:

Passo 5

Agora, juntamos as derivadas das duas partes da função original. A derivada de fica:
Podemos simplificar um pouco agrupando termos semelhantes:

Resposta

A derivada da função é:

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