Derive a função utilizando as Regras de Derivação. f(x) = x(x-1)²

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa derivar a função . Isso vai envolver as Regras de Derivação, mais especificamente a regra do produto e a regra da cadeia. Então, vamos usar essas ferramentas para chegar na derivada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas partes que estão sendo multiplicadas na função . Vamos chamar:
Isso vai facilitar na hora de aplicar a regra do produto, que é usada quando você tem uma função multiplicando outra.

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas partes separadamente.
  • A derivada de é . Isso porque a derivada de em relação a é 1.
  • Para derivar , usamos a regra da cadeia. Primeiro, consideramos a função externa e a interna . A derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia, a derivada de é:

Passo 4

Agora que temos as derivadas de e , vamos aplicar a regra do produto. A regra do produto diz que:
Aplicando isso à nossa função:
Substituindo pelos valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para deixar a derivada mais clara:
Podemos fatorar para simplificar mais:

Resposta

A derivada da função é:

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