Determine o volume do paralelepípedo gerado pelos vetores u = (3, -1, 2), v = (2, 1, 1) e \vec{w}=w (-1, 0, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um paralelepípedo gerado por três vetores no espaço. A matéria envolvida aqui é álgebra vetorial, especificamente o cálculo do produto misto ou produto escalar triplo. Vamos precisar dos vetores , e para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume do paralelepípedo formado por três vetores u, v e w pode ser encontrado calculando o valor absoluto do produto misto desses vetores. Isso é feito calculando o determinante da matriz que tem esses vetores como colunas.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores u, v e w como colunas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

Vamos simplificar cada termo:

Passo 6

Somando tudo:

Resposta

O volume do paralelepípedo é unidades cúbicas.

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