Calcule o centro de massa de uma placa metálica na forma de um triângulo de vértices (0,0),(2,0) e (2,4) com densidade uniforme, 3 .

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de uma lamina triangular com vértices (0,0), (2,0) e (2,4) e densidade uniforme de<a=3. O conteúdo aqui é cálculo de centro de massa via integrais duplas:
bar x = 1Mintegral duplaR x,de<a,dA, bar y = 1Mintegral duplaR y,de<a,dA, M = integral duplaR de<a,dA

Passo 2

Precisamos descrever a região R. A reta que liga (0,0) a (2,4) tem equação y=2x. Logo,
R = (x,y)mid 0<= x<=2, 0<= y<=2x

Passo 3

Calculamos a massa total:
M = integral duplaR de<a,dA = de<acdot área(R) á
A área de um triângulo com base 2 e altura 4 é
área(R)=12cdot2cdot4=4, á
portanto
M = 3cdot4 = 12

Passo 4

Agora calculamos bar x:
bar x = 1Mintegral duplaR x,de<a,dA = 312integralx=0^2integraly=0^2xx,dy,dx = 14integral0^22x^2,dx = 14cdot2cdot2^33 = 43

Passo 5

De modo análogo, para bar y:
bar y = 1Mintegral duplaR y,de<a,dA = 312integral0^2integral0^2xy,dy,dx = 14integral0^2(2x)^22,dx = 14integral0^22x^2,dx = 43

Resposta

O centro de massa é
(43,,43)

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