Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
f(t)=(t-2)^2 H(t-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace juntos! A gente precisa encontrar a transformada da função f(t) = (t - 2)^2 H(t - 2) . Aqui, estamos trabalhando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Além disso, temos a função de Heaviside H(t - 2) , que basicamente “liga” a função (t - 2)^2 a partir de t = 2 . Para resolver isso, vamos usar o teorema de deslocamento na transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do teorema de deslocamento (ou segunda propriedade de mudança de variável) da Transformada de Laplace. Esse teorema diz que:
L f(t - a) H(t - a) = e^-a s F(s)
onde F(s) é a transformada de Laplace da função f(t) .
No nosso caso, f(t) = (t - 2)^2 H(t - 2) . Aqui, a = 2 e a parte f(t - 2) seria simplesmente t^2 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a Transformada de Laplace de t^2 . Sabemos que:
L t^n = n!s^n+1
No nosso caso, n = 2 , então:
L t^2 = 2!s^3 = 2s^3

Passo 4

Aplicando o teorema de deslocamento que mencionamos antes, substituímos F(s) pela transformada que acabamos de encontrar:
L (t - 2)^2 H(t - 2) = e^-2 s cdot 2s^3 = 2 e^-2 ss^3

Resposta

A Transformada de Laplace da função f(t) = (t - 2)^2 H(t - 2) é:
L f(t) = 2 e^-2 ss^3

Exercícios relacionados