Verifique a convergência das integrais impróprias. Caso convergente, obtenha o valor da integral.
integral-infty^+infty 31+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e, se convergente, calcular
integral-infty^infty31+x^2,dx
Este é um caso de integral imprópria com limites infinitos, e vamos usar a primitiva de tfrac11+x^2 e testes de convergência no infinito.

Passo 2

Observe que f(x)=tfrac31+x^2 é par, pois f(-x)=f(x). Logo, para A>0,
integral-A^A31+x^2,dx ;=;2integral0^A31+x^2,dx
A convergência de integral-infty^inftyf(x),dx equivale a
limAtoinftyintegral-A^Af(x),dx existir e ser finito.

Passo 3

Calcule a integral de 0 até A:
integral0^A31+x^2,dx =3l[arctan(x)r]0^A =3l(arctan(A)-arctan(0)r) =3arctan(A)
Multiplicando por 2, obtemos
integral-A^A31+x^2,dx =6arctan(A)

Passo 4

Para verificar a convergência, tomamos o limite quando Atoinfty. Sabemos que
limAtoinftyarctan(A)=tfracpi2, logo
limAtoinfty6arctan(A) =6cdottfracpi2 =3pi
Portanto a integral converge e seu valor é finito.

Resposta

A integral imprópria é convergente e vale
3pi

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