Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função
. Isso significa que vamos usar conceitos de transformada de Laplace e função de Heaviside. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em funções que envolvem a função de Heaviside.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de Heaviside,
. Essa função é igual a 0 quando
e igual a 1 quando
. No nosso caso,
significa que a função
é zero para
e igual a
para
.
Passo 3
A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
No nosso caso,
, então a transformada fica:
Passo 4
Como
é zero para
, podemos ajustar os limites da integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, usamos integração por partes. Vamos definir:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão de 1 a
:
Quando
,
tende a 0, então a expressão no limite superior é 0. No limite inferior (
):
Negando para obter o resultado da integral:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: