Encontre a transformada de Laplace das funções a seguir.
f(t)=t H(t-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = t , H(t - 1) . Isso significa que vamos usar conceitos de transformada de Laplace e função de Heaviside. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em funções que envolvem a função de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de Heaviside, H(t - a) . Essa função é igual a 0 quando t < a e igual a 1 quando t >= a . No nosso caso, H(t - 1) significa que a função f(t) é zero para t < 1 e igual a t para t >= 1 .

Passo 3

A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt
No nosso caso, f(t) = t , H(t - 1) , então a transformada fica:
Lt , H(t - 1) = integral0^infty e^-s t t , H(t - 1) , dt

Passo 4

Como H(t - 1) é zero para t < 1 , podemos ajustar os limites da integral:
Lt , H(t - 1) = integral1^infty e^-s t t , dt

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral1^infty e^-s t t , dt . Para isso, usamos integração por partes. Vamos definir:
u = t Rightarrow du = dt dv = e^-s t dt Rightarrow v = -1s e^-s t
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = u v - integral v , du :
integral t e^-s t dt = -ts e^-s t + 1s integral e^-s t dt
= -ts e^-s t - 1s^2 e^-s t + C

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão de 1 a infty :
[ -ts e^-s t - 1s^2 e^-s t ]1^infty
Quando t to infty , e^-s t tende a 0, então a expressão no limite superior é 0. No limite inferior ( t = 1 ):
- ( 1s e^-s + 1s^2 e^-s )
Negando para obter o resultado da integral:
e^-ss + e^-ss^2 = e^-s ( 1s + 1s^2 )
= e^-s ( s + 1s^2 )

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = t , H(t - 1) é:
Lt , H(t - 1) = e^-s ( s + 1s^2 )

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