Calcule o centro de massa da região.
D é o triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,1) e a densidade é proporcional à distância do ponto à origem.

Passo 1

O enunciado fornece a região D triangular de vértices (0,0), (0,1), (1,1) e densidade rho(x,y) proporcional à distância ao origem. Assim
rho(x,y)=k,r, r=raizx^2+y^2,
onde k é constante. Precisamos calcular
M=integral duplaDrho,dA, xG=1Mintegral duplaDx,rho,dA, yG=1Mintegral duplaDy,rho,dA
Como rho depende de r, faz sentido passar a coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta e rho=k,r. Logo os momentos são
M = integral duplaDk,rcdot r,dr,dtheta = kintegral duplaDr^2,dr,dtheta,
Mx = integral duplaDx,rho,dA = kintegral duplaD(rcostheta),rcdot r,dr,dtheta = kintegral duplaDr^3costheta,dr,dtheta,
My = kintegral duplaDr^3sintheta,dr,dtheta

Passo 3

A região D em polares é dada por
thetainl[tfracpi4,tfracpi2r], rinl[0,tfrac1sinthetar]
(pois a reta y=1 em polares é rsintheta=1). Integramos em r e ficamos com
M = kintegralpi/4^pi/2!integral0^1/sinthetar^2,dr,dtheta = k3integralpi/4^pi/2csc^3theta,dtheta,
Mx = kintegralpi/4^pi/2!integral0^1/sinthetar^3costheta,dr,dtheta = k4integralpi/4^pi/2cottheta,csc^3theta,dtheta,
My = k4integralpi/4^pi/2csc^3theta,dtheta

Passo 4

Antes de calcular as integrais, note que
yG=MyM =tfrack4integralpi/4^pi/2csc^3theta,dtheta tfrack3integralpi/4^pi/2csc^3theta,dtheta =34

Passo 5

Agora computamos as integrais
I1=integralpi/4^pi/2csc^3theta,dtheta, I2=integralpi/4^pi/2cottheta,csc^3theta,dtheta
Usa-se
integralcsc^3theta,dtheta =-tfrac12,cscthetacottheta +tfrac12lnl|tantheta2r|+C,
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I1 =l[-tfrac12cscthetacottheta+tfrac12lntantheta2r]pi/4^pi/2 =raiz22-12lnl(tantfracpi8r)
Para I2 faça u=csctheta, du=-cscthetacottheta,dtheta:
I2 =integralpi/4^pi/2cottheta,csc^3theta,dtheta =-integralu(pi/4)^u(pi/2)u^2,du =2raiz2-13
Observe que tan(tfracpi8)=raiz2-1.

Passo 6

Finalmente
xG=MxM =tfrack4I2tfrack3I1 =34,I2I1 =34, tfrac2raiz2-13 tfracraiz22-tfrac12ln(raiz2-1) =2raiz2-12l(raiz2-ln(raiz2-1)r)

Resposta

l(xG,yGr) =gl(2raiz2-12l(raiz2-ln(raiz2-1)r),;34gr)

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