Calcule o centro de massa da região.
é o triângulo de vértices
e
e a densidade é proporcional à distância do ponto à origem.
Passo 1
O enunciado fornece a região
triangular de vértices
,
,
e densidade
proporcional à distância ao origem. Assim
onde
é constante. Precisamos calcular
Como
depende de
, faz sentido passar a coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
,
,
e
. Logo os momentos são
Passo 3
A região
em polares é dada por
(pois a reta
em polares é
). Integramos em
e ficamos com
Passo 4
Antes de calcular as integrais, note que
Passo 5
Agora computamos as integrais
Usa-se
logo
Para
I2 faça
u=csctheta ,
du=-cscthetacottheta,dtheta :
Observe que
tan(tfracpi8)=raiz2-1 .
Passo 6
Finalmente