Calcule o centro de massa da região.
D=(x, y) in R^2: x^3 <= y <= x e a densidade é constante e igual a 1 .

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de D=(x,y)in R^2: x^3<= y<= x com densidade constante igual a 1. Aqui o “topo” da região é y=x e o “fundo” é y=x^3. Para que haja pontos com x^3<= x precisamos ter
x^3<= xLong<=ftrightarrow x(x^2-1)<=0Long<=ftrightarrow 0<= x<=1 ou x<= -1
No trecho x<= -1 a região fica não limitada verticalmente (vai a yto-infty), então a única parte finita e relevante é para 0<= x<=1. Assim vamos integrar em xin[0,1] e yin[x^3,x].

Passo 2

Calcular a massa
m=integral duplaD1,dA =integralx=0^1l(underbracextopo-underbracex^3fundor),dx =integral0^1(x-x^3),dx =l[tfracx^22-tfracx^44r]0^1 =tfrac12-tfrac14 =tfrac14

Passo 3

Calcular a abscissa do centro de massa
xc=1mintegral duplaD x,dA =1mintegral0^1l[x,(x-x^3)r],dx =1mintegral0^1(x^2-x^4),dx =1ml[tfracx^33-tfracx^55r]0^1 =1/3-1/5m =2/151/4 =815

Passo 4

Calcular a ordenada do centro de massa
yc=1mintegral duplaD y,dA =1mintegral0^1l[integraly=x^3^xy,dyr]dx =1mintegral0^1x^2-(x^3)^22,dx =1mintegral0^1x^2-x^62,dx =1m,12l[tfracx^33-tfracx^77r]0^1 =(1/3-1/7)/21/4 =2/211/4 =821

Resposta

O centro de massa é
l(xc,ycr)=l(tfrac815,,tfrac821r)

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