Calcule o centroide da região delimitada pelo laço da curva y^2=x^3-x^4.

Passo 1

O enunciado pede o centróide da região plana R delimitada pelo laço da curva
y^2=x^3-x^4
O conteúdo aqui é cálculo de centróide por integrais duplas (momentos de primeira ordem). Vamos precisar
1. determinar a projeção de R no eixo x e as funções das fronteiras ytop e ybot;
2. usar a fórmula da área
A=integral duplaRdA;
3. usar a fórmula do momento em relação ao eixo y,
My=integral duplaRx,dA,
para achar bar x=My/A, e argumentar pela simetria que bar y=0.

Passo 2

Note que
y = pm raizx^3 - x^4 = pm raizx^3(1 - x),
e o radicando é não--negativo se x^3(1 - x) >= 0, i.e.\ 0 <= x <= 1. Logo a regi~ao R 'e dada por
0 <= x <= 1, -raizx^3 - x^4 ;<= y <= ; raizx^3 - x^4
Como R 'e sim’etrico em rela\c{c}~ao ao eixo x, teremos bary = 0.

Passo 3

A área é
A=integral0^1l(ytop-ybotr),dx =2integral0^1raizx^3-x^4,dx =2integral0^1x^3/2(1-x)^1/2,dx
Esse integral é um caso da função Beta:
integral0^1x^3/2(1-x)^1/2,dx =Bl(tfrac52,tfrac32r) =Gamma(tfrac52),Gamma(tfrac32)Gamma(4) =l(tfrac34raizpir)l(tfrac12raizpir)6 =pi16
Portanto
A=2cdotpi16=pi8

Passo 4

O momento em relação ao eixo y é
My =integral0^1xl(ytop-ybotr),dx =2integral0^1x,raizx^3-x^4,dx =2integral0^1x^5/2(1-x)^1/2,dx
De novo usamos Beta:
integral0^1x^5/2(1-x)^1/2,dx =Bl(tfrac72,tfrac32r) =Gamma(tfrac72),Gamma(tfrac32)Gamma(5) =l(tfrac158raizpir)l(tfrac12raizpir)24 =5pi128
Logo
My =2cdot5pi128 =5pi64

Passo 5

O x-coordenado do centróide é
bar x=MyA =tfrac5pi64tfracpi8 =5pi64cdot8pi =58,
e, por simetria, bar y=0.

Resposta

(bar x,bar y)=l(tfrac58,0r)

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