Calcule o centroide da região delimitada pelo laço da curva
.
Passo 1
O enunciado pede o centróide da região plana
delimitada pelo laço da curva
O conteúdo aqui é cálculo de centróide por integrais duplas (momentos de primeira ordem). Vamos precisar
. determinar a projeção de
no eixo
e as funções das fronteiras
e
;
. usar a fórmula da área
para achar
, e argumentar pela simetria que
.
Passo 2
Note que
e o radicando é não--negativo se
, i.e.\
. Logo a regi~ao
'e dada por
Como
'e sim’etrico em rela\c{c}~ao ao eixo
, teremos
.
Passo 3
A área é
Esse integral é um caso da função Beta:
Portanto
Passo 4
O momento em relação ao eixo
é
De novo usamos Beta:
Logo
Passo 5
O
-coordenado do centróide é
e, por simetria,
.