Calcule o centroide da região limitada pela elipse x^2+(x+y+1)^2=1.

Passo 1

O enunciado pede o centroide da região R tal que
x^2 + (x+y+1)^2 <= 1,
ou seja, o interior de uma elipse. Como uma elipse é uma figura com centro de simetria, seu centro coincide com seu centroide. Para encontrar esse ponto, podemos usar a mudança de variáveis
u = x, v = x + y + 1,
que leva a elipse em R num disco unitário u^2+v^2<=1.

Passo 2

Verificamos o jacobiano da transformação (x,y)mapsto(u,v):
partial(u,v)partial(x,y) = det1 & 0 1 & 1 = 1,
logo dA = du,dv e a área de R é a área do disco de raio 1, ou seja
A = picdot1^2 = pi

Passo 3

Em coordenadas (u,v) temos
x = u, y = v - u - 1
Calculamos
bar x = 1Aintegral duplaR x,dA = 1piintegral duplau^2+v^2<=1 u,du,dv
Por simetria do disco em torno da origem, integral dupla u,du,dv=0, logo
bar x = 0

Passo 4

De modo semelhante,
bar y = 1piintegral duplau^2+v^2<=1 (v - u -1),du,dv = 1pil(integral dupla v,du,dv - integral dupla u,du,dv - integral dupla 1,du,dvr)
As integrais de u e de v sobre o disco são nulas, e integral dupla1,du,dv=pi. Portanto
bar y = -1pi,pi = -1

Resposta

(bar x,bar y) = (0,-1)

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