Calcule o centroide da região limitada pela elipse .
Passo 1
O enunciado pede o centroide da região tal que
ou seja, o interior de uma elipse. Como uma elipse é uma figura com centro de simetria, seu centro coincide com seu centroide. Para encontrar esse ponto, podemos usar a mudança de variáveis
que leva a elipse em num disco unitário .
Passo 2
Verificamos o jacobiano da transformação :
logo dA = du,dv e a área de R é a área do disco de raio 1, ou seja
A = picdot1^2 = pi
Passo 3
Em coordenadas (u,v) temos
x = u, y = v - u - 1
Calculamos
bar x = 1Aintegral duplaR x,dA = 1piintegral duplau^2+v^2<=1 u,du,dv
Por simetria do disco em torno da origem, integral dupla u,du,dv=0, logo
bar x = 0
Passo 4
De modo semelhante,
bar y = 1piintegral duplau^2+v^2<=1 (v - u -1),du,dv = 1pil(integral dupla v,du,dv - integral dupla u,du,dv - integral dupla 1,du,dvr)
As integrais de u e de v sobre o disco são nulas, e integral dupla1,du,dv=pi. Portanto