Em média, Alceste, Belizário e Cibele gastam e minutos, respectivamente, para encher um tanque inicialmente vazio e, para tal, só usam recipientes de iguais capacidades, totalmente cheios de água. Sabe-se também que a equação matricial
permite que se calculem tA, tB e tC, em minutos, e que tal tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo de 3 metros de altura. Nessas condições, após quantos minutos, em média, contados a partir do instante em que os três começarem simultaneamente a colocar água no tanque vazio, o nível da água atingirá 1,95 m de altura?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um tanque que três pessoas, Alceste, Belizário e Cibele, estão enchendo juntas. Cada um leva um tempo diferente para encher o tanque sozinho: tA, tB e tC minutos, respectivamente. A gente recebeu uma equação matricial que nos ajuda a descobrir esses tempos individuais. Além disso, sabemos que o tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo com 3 metros de altura. Nosso objetivo é descobrir, quanto tempo eles levam juntos para que a água atinja 1,95 metros de altura no tanque.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação matricial para encontrar os valores de tA, tB e tC. A equação dada é:
Isso significa que temos o seguinte sistema de equações:
tA + tB = 30
tA + tC = 25
tB + tC = 35
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vamos optar pelo método de eliminação.
Primeiro, da equação (1):
tA = 30 - tB → (4)
Agora, substituímos tA da equação (4) na equação (2):
(30 - tB) + tC = 25
Resolvendo:
30 - tB + tC = 25
-tB + tC = -5 → (5)
Agora, temos a equação (3):
tB + tC = 35 → (3)
Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
-tB + tC = -5 → (5)
tB + tC = 35 → (3)
Somando as duas equações:
(-tB + tC) + (tB + tC) = -5 + 35
2tC = 30
tC = 15
Passo 4
Agora que encontramos tC = 15 minutos, podemos substituir esse valor na equação (3) para encontrar tB:
tB + 15 = 35
tB = 35 - 15
tB = 20 minutos
Passo 5
Com tB = 20 minutos, voltamos à equação (4) para encontrar tA:
tA = 30 - tB = 30 - 20 = 10 minutos
Passo 6
Agora que temos os tempos individuais: tA = 10 minutos, tB = 20 minutos e tC = 15 minutos, vamos descobrir a taxa de enchimento de cada um.
A taxa de enchimento de cada pessoa é a parte do tanque que ela enche por minuto. Como elas usam recipientes de mesma capacidade, a taxa é inversamente proporcional ao tempo que cada uma leva para encher o tanque sozinha.
Então:
Taxa de Alceste: 1/tA = 1/10 tanque por minuto
Taxa de Belizário: 1/tB = 1/20 tanque por minuto
Taxa de Cibele: 1/tC = 1/15 tanque por minuto
Passo 7
Quando trabalham juntos, as taxas de enchimento se somam:
Agora, queremos saber quanto tempo levará para que a água atinja 1,95 metros de altura no tanque. Sabemos que o tanque tem 3 metros de altura, então 1,95 metros correspondem a:
1,95 / 3 = 0,65 (65% do tanque)
Se a taxa total é 13/60 tanque por minuto, queremos encontrar o tempo t tal que:
13/60 cdot t = 0,65
Passo 9
Resolvendo para t:
t = 0,65 times 6013 = 3913 = 3 minutos
Resposta
Após 3 minutos, o nível da água atingirá 1,95 metros de altura no tanque.