Suponha que uma partícula móvel descola com velocidade dada pela função v(t)=10+raizt(20 t-3 raizt), sendo o tempo em segundos representado por t. Determine a função de deslocamento em metros (espaço em função do tempo), sabendo que quando t=10 deslocamento é 21 m

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função da velocidade de uma partícula em movimento: v(t) = 10 + raizt(20 t - 3 raizt) , onde t é o tempo em segundos. Nosso objetivo é encontrar a função de deslocamento s(t) em metros, sabendo que quando t = 10 segundos, o deslocamento é 21 metros. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática para encontrar áreas sob curvas, e nesse caso, para calcular o deslocamento a partir da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função da velocidade para facilitar a integração. A função dada é:
v(t) = 10 + raizt(20 t - 3 raizt)
Vamos distribuir a raizt :
v(t) = 10 + 20 t^3/2 - 3 t
Agora, a função está mais direta para integrar.

Passo 3

Agora, precisamos integrar a função de velocidade v(t) para encontrar o deslocamento s(t) . A integral da velocidade em relação ao tempo nos dá o deslocamento:
s(t) = integral v(t) , dt = integral (10 + 20 t^3/2 - 3 t ) dt
Vamos integrar termo a termo.

Passo 4

Integrando cada termo:
  1. integral 10 , dt = 10t
  2. integral 20 t^3/2 , dt = 20 times 25 t^5/2 = 8 t^5/2
  3. integral -3 t , dt = -3 times 12 t^2 = -32 t^2
Então, juntando tudo:
s(t) = 10t + 8 t^5/2 - 32 t^2 + C
Onde C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Para achar o valor de C , usamos a condição inicial dada: quando t = 10 , s(t) = 21 metros. Vamos substituir esses valores na equação:
21 = 10(10) + 8 (10)^5/2 - 32 (10)^2 + C
Calculando cada termo:
  1. 10 times 10 = 100
  2. (10)^5/2 = 10^2 times 10^1/2 = 100 times raiz10 approx 100 times 3,1623 = 316,23
    Então, 8 times 316,23 approx 2529,84
  3. 32 times 100 = 150
Substituindo de volta:
21 = 100 + 2529,84 - 150 + C
Somando os valores:
21 = 2479,84 + C
Isolando C :
C = 21 - 2479,84 = -2458,84

Resposta

A função de deslocamento é:
s(t) = 10 t + 8 t^5/2 - 32 t^2 - 2458,84

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