Um toro é gerado pela rotação do círculo x^2+(y-R)^2=r^2 ao redor do eixo x, onde 0<r<R. Encontre a área da superfície do toro.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície de um toro obtido ao girar o círculo
x^2+(y-R)^2=r^2, 0<r<R,
em torno do eixo x. O conteúdo principal aqui é cálculo de área de superfície parametrizada e uso de integração dupla ou, equivalentemente, a fórmula de superfície de revolução. Vamos parametrizar o toro e calcular diretamente a área via o vetor posição e seu produto vetorial.

Passo 2

Parametrizamos o círculo por thetain[0,2pi] e o ângulo de revolução por varphiin[0,2pi]. Ao girar, temos o ponto genérico da superfície
r(theta,varphi) =l(rcostheta,,(R+rsintheta)cosvarphi,,(R+rsintheta)sinvarphir)

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial rpartial theta =l(-rsintheta,;rcosthetacosvarphi,;rcosthetasinvarphir),
partial rpartial varphi =l(0,;-(R+rsintheta)sinvarphi,;(R+rsintheta)cosvarphir)

Passo 4

O elemento de área é dado por
l|partial rpartial thetatimespartial rpartial varphir| =r,(R+rsintheta)
Isso aparece porque o produto vetorial dessas duas derivadas simplifica exatamente para esse valor.

Passo 5

Integramos sobre theta e varphi:
S =integral0^2pi!!integral0^2pi r,(R+rsintheta),dvarphi,dtheta =2pi,rintegral0^2pil(R+rsinthetar),dtheta =2pi,rl(2pi R+0r) =4pi^2R,r

Resposta

A área da superfície do toro é
4pi^2R,r

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