Um toro é gerado pela rotação do círculo ao redor do eixo , onde . Encontre a área da superfície do toro.
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície de um toro obtido ao girar o círculo
em torno do eixo . O conteúdo principal aqui é cálculo de área de superfície parametrizada e uso de integração dupla ou, equivalentemente, a fórmula de superfície de revolução. Vamos parametrizar o toro e calcular diretamente a área via o vetor posição e seu produto vetorial.
Passo 2
Parametrizamos o círculo por e o ângulo de revolução por . Ao girar, temos o ponto genérico da superfície
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
O elemento de área é dado por
Isso aparece porque o produto vetorial dessas duas derivadas simplifica exatamente para esse valor.
Passo 5
Integramos sobre theta e varphi:
S =integral0^2pi!!integral0^2pi r,(R+rsintheta),dvarphi,dtheta =2pi,rintegral0^2pil(R+rsinthetar),dtheta =2pi,rl(2pi R+0r) =4pi^2R,r