Encontre a solução da EDO linear de 1^ a ordem com condição inicial (ou seja, resolva o PVI).
x d yd x+2 y=x^2, y(-2)=-1

Passo 1

O PVI dado é
xdydx+2y = x^2, y(-2)=-1
Trata-se de uma EDO linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos escrevê-la na forma padrão
dydx+p(x)y=q(x)
e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo por x (supondo xneq0), obtemos
dydx + 2x,y = x
Aqui identificamos
p(x)=2x, q(x)=x

Passo 3

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral p(x),dxr) = expl(integral 2x,dxr) = expl(2ln|x|r) = x^2

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por mu(x)=x^2, vem
x^2dydx + 2x,y = x^3,
e o lado esquerdo é exatamente
ddxl(x^2 yr)

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
ddx(x^2 y) = x^3 Longrightarrow x^2 y = integral x^3,dx = x^44 + C
Logo a solução geral é
y = x^24 + C,x^-2

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(-2)=-1:
-1 = (-2)^24 + Ccdot(-2)^-2 = 1 + C4 Longrightarrow C4 = -2 Longrightarrow C = -8

Passo 7

Substituindo C=-8 na solução geral, obtemos
y(x) = x^24 - 8x^2,
válida no ramo x<0 que contém o ponto inicial x=-2.

Resposta

y(x) = x^24 - 8x^2

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