Calcule o centroide do semidisco superior de raio a dado pelas inequações x^{2}+y^{2} \leq a^{2}, y \geq 0. Faça isto de duas formas:
usando coordenadas cartesianas;
Passo 1
O enunciado pede: calcular o centroide (coordenadas (\bar{x},\bar{y})) do semidisco superior de raio a definido pela região
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2},\; y\ge 0\}.
Informações dadas:
raio: a>0;
região: semidisco (metade superior do disco de raio a);
objetivo: encontrar \bar{x} e \bar{y}, as coordenadas do centroide da lamina de densidade uniforme ocupando R.
Passo 2
Fórmulas gerais e conceitos que vamos usar (explicação didática):
O centroide de uma lamina de densidade uniforme sobre uma região R é dado por
onde A é a área da região R. Aqui dA é o elemento de área; em coordenadas cartesianas tomamos dA=dy\,dx (ou dx\,dy) e integramos sobre os limites da região.
Explicando as variáveis: x e y são as coordenadas de um ponto genérico da região; \iint_R x\,dA é o momento estático da área em relação ao eixo y (é a soma ponderada das abscissas) e \iint_R y\,dA é o momento em relação ao eixo x.
Organização do cálculo em coordenadas cartesianas: escolhemos integrar primeiro em y (de baixo para cima) e depois em x. Para cada x fixo, y varia de 0 até a curva superior y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}. O x varia de -a a a.
Passo 3
Cálculo da área A da região R por integração cartesiana (detalhado):
\int_{y=0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dy = \left. y \right|_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \sqrt{a^{2}-x^{2}}.
Portanto
A=\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx.
Esse integral representa exatamente a área de um semicírculo de raio a. Podemos avaliá‑lo por substituição trigonométrica: use x=a\sin\theta, dx=a\cos\theta\,d\theta, com \theta indo de -\pi/2 a \pi/2. Fazendo isso obtemos
Determinação de \bar{x} por simetria e conclusão final (explicação):
A região R é simétrica em relação ao eixo y (isto é, se (x,y)\in R então (-x,y)\in R). Para uma lamina de densidade uniforme essa simetria implica que o centroide tem abscissa zero, pois os momentos positivos e negativos em x se cancelam. Portanto
\bar{x}=0.
Assim o centroide do semidisco superior é o ponto com coordenadas (\bar{x},\bar{y})=\left(0,\dfrac{4a}{3\pi}\right).