Calcule o centroide do semidisco superior de raio a dado pelas inequações x^{2}+y^{2} \leq a^{2}, y \geq 0. Faça isto de duas formas:
usando coordenadas cartesianas;

Passo 1

O enunciado pede: calcular o centroide (coordenadas (\bar{x},\bar{y})) do semidisco superior de raio a definido pela região
R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2},\; y\ge 0\}.
Informações dadas:
  • raio: a>0;
  • região: semidisco (metade superior do disco de raio a);
  • objetivo: encontrar \bar{x} e \bar{y}, as coordenadas do centroide da lamina de densidade uniforme ocupando R.

Passo 2

Fórmulas gerais e conceitos que vamos usar (explicação didática):
  • O centroide de uma lamina de densidade uniforme sobre uma região R é dado por
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint_{R} x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\iint_{R} y\,dA,
onde A é a área da região R. Aqui dA é o elemento de área; em coordenadas cartesianas tomamos dA=dy\,dx (ou dx\,dy) e integramos sobre os limites da região.
  • Explicando as variáveis: x e y são as coordenadas de um ponto genérico da região; \iint_R x\,dA é o momento estático da área em relação ao eixo y (é a soma ponderada das abscissas) e \iint_R y\,dA é o momento em relação ao eixo x.
  • Organização do cálculo em coordenadas cartesianas: escolhemos integrar primeiro em y (de baixo para cima) e depois em x. Para cada x fixo, y varia de 0 até a curva superior y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}. O x varia de -a a a.

Passo 3

Cálculo da área A da região R por integração cartesiana (detalhado):
A=\iint_{R} dA=\int_{x=-a}^{a}\int_{y=0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dy\,dx.
Inner (integral em y):
\int_{y=0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} dy = \left. y \right|_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \sqrt{a^{2}-x^{2}}.
Portanto
A=\int_{-a}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx.
Esse integral representa exatamente a área de um semicírculo de raio a. Podemos avaliá‑lo por substituição trigonométrica: use x=a\sin\theta, dx=a\cos\theta\,d\theta, com \theta indo de -\pi/2 a \pi/2. Fazendo isso obtemos
A=a^{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta =a^{2}\left[ \frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} =a^{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi a^{2}}{2}.
(Observação prática: é o resultado conhecido — área do semicírculo.)

Passo 4

Cálculo do momento \iint_{R} y\,dA (necessário para \bar{y}), detalhando as contas:
Montamos a integral em coordenadas cartesianas:
M_{x}=\iint_{R} y\,dA=\int_{x=-a}^{a}\int_{y=0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} y\,dy\,dx.
Calcule a integral interna em y:
\int_{y=0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \frac{1}{2}\big(a^{2}-x^{2}\big).
Logo
M_{x}=\int_{-a}^{a} \frac{1}{2}\big(a^{2}-x^{2}\big)\,dx = \frac{1}{2}\left( \int_{-a}^{a} a^{2}\,dx - \int_{-a}^{a} x^{2}\,dx \right).
Agora calcule cada integral separadamente:
\int_{-a}^{a} a^{2}\,dx = a^{2}\cdot(2a)=2a^{3},
\int_{-a}^{a} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{a} x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{2a^{3}}{3}.
Substituindo,
M_{x}=\frac{1}{2}\left(2a^{3}-\frac{2a^{3}}{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{6a^{3}-2a^{3}}{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4a^{3}}{3}=\frac{2a^{3}}{3}.

Passo 5

Cálculo de \bar{y} dividindo o momento pela área:
\bar{y}=\frac{M_{x}}{A}=\frac{\dfrac{2a^{3}}{3}}{\dfrac{\pi a^{2}}{2}}.
Simplificando passo a passo:
\bar{y}=\frac{2a^{3}}{3}\cdot\frac{2}{\pi a^{2}}=\frac{4a^{3}}{3\pi a^{2}}=\frac{4a}{3\pi}.

Passo 6

Determinação de \bar{x} por simetria e conclusão final (explicação):
A região R é simétrica em relação ao eixo y (isto é, se (x,y)\in R então (-x,y)\in R). Para uma lamina de densidade uniforme essa simetria implica que o centroide tem abscissa zero, pois os momentos positivos e negativos em x se cancelam. Portanto
\bar{x}=0.
Assim o centroide do semidisco superior é o ponto com coordenadas (\bar{x},\bar{y})=\left(0,\dfrac{4a}{3\pi}\right).

Resposta

\bar{x}=0
\bar{y}=\dfrac{4a}{3\pi}

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