Calcule o centroide do semidisco superior de raio
dado pelas inequações
. Faça isto de duas formas:
usando coordenadas polares.
usando coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede o centroide (centro de massa da lâmina homogênea) do semidisco superior de raio
definido por
As perguntas explícitas são:
- Determinar as coordenadas do centroide
.
Informações dadas e observações imediatas:
- A região é a metade superior do disco de raio
. - A densidade é homogênea (constante); portanto podemos usar apenas a geometria da região.
- Pela simetria em torno do eixo
espera-se que .
A resolução começará a seguir a partir do próximo passo.
Passo 2
Definição prática do centroide para uma lâmina homogênea: se
é a área da região e
o elemento de área, então
Explicação didática:
é a área total da região;
é o “momento” em relação ao eixo
(soma de
sobre toda a área), e
é o momento em relação ao eixo
. Dividindo o momento pela área obtemos a coordenada do centroide. Em ambos os integrais,
e
são as coordenadas do ponto elemental
.
Calculemos primeiro a área
do semidisco:
Explicação: área do disco é
; metade disso é a área da região
.
Passo 3
Primeira forma: usando coordenadas polares. Vamos descrever a região em polares e montar os integrais.
Em coordenadas polares usamos
,
e o elemento de área é
Explicação: o fator
aparece por causa da mudança de variáveis (área de um anel pequeno).
A região semidisco corresponde a
Passo 4
Cálculo de
em coordenadas polares.
Escrevemos o momento em relação ao eixo
:
Agora observe que
é função ímpar em relação a
no intervalo
e a integral de
de
a
é zero. Portanto
Assim
Explicação simples: por simetria a massa à esquerda e à direita do eixo
se cancelam, então
.
Passo 5
Cálculo de
em coordenadas polares.
Montamos o momento em relação ao eixo
:
Calcule a integral em
:
Substitua:
Calcule a integral em
:
Logo
Passo 6
Agora usamos
e obtemos
Simplificando:
Portanto, pela forma polar encontramos
Passo 7
Segunda forma (verificação): usar coordenadas cartesianas (dupla integral em
). Isso também é um método elementar que se aprende antes de polares; faço aqui para reforçar a compreensão.
Em cartesianas:
Passo 8
Calcule
em cartesianas. Para cada
a integral interna em
de
é
e a região é simétrica em
, logo
Integrando de
a
uma função ímpar
dá zero, portanto
. Isso confirma a simetria e o resultado obtido antes.
Passo 9
Calcule
em cartesianas.
Integral interna em
:
Assim o numerador do momento é
Calcule
. Então
Isso é exatamente o mesmo numerador que obtivemos na forma polar. Dividindo por
obtemos novamente
Passo 10
Conclusão e comentário final: tanto pela mudança para coordenadas polares quanto pela integral em coordenadas cartesianas obtemos as mesmas coordenadas do centroide. O resultado é intuitivo:
por simetria e
fica acima da origem, a uma distância
.