Calcule o centroide do semidisco superior de raio a dado pelas inequações x^{2}+y^{2} \leq a^{2}, y \geq 0. Faça isto de duas formas:
usando coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede o centroide (centro de massa da lâmina homogênea) do semidisco superior de raio a definido por
x^{2}+y^{2}\le a^{2},\qquad y\ge 0.
As perguntas explícitas são:
  • Determinar as coordenadas do centroide \big(\bar{x},\bar{y}\big).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A região é a metade superior do disco de raio a.
  • A densidade é homogênea (constante); portanto podemos usar apenas a geometria da região.
  • Pela simetria em torno do eixo y espera-se que \bar{x}=0.
    A resolução começará a seguir a partir do próximo passo.

Passo 2

Definição prática do centroide para uma lâmina homogênea: se A é a área da região e dA o elemento de área, então
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint x\,dA,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\iint y\,dA.
Explicação didática: A é a área total da região; \iint x\,dA é o “momento” em relação ao eixo y (soma de x sobre toda a área), e \iint y\,dA é o momento em relação ao eixo x. Dividindo o momento pela área obtemos a coordenada do centroide. Em ambos os integrais, x e y são as coordenadas do ponto elemental dA.
Calculemos primeiro a área A do semidisco:
A=\frac{1}{2}\pi a^{2}.
Explicação: área do disco é \pi a^{2}; metade disso é a área da região y\ge0.

Passo 3

Primeira forma: usando coordenadas polares. Vamos descrever a região em polares e montar os integrais.
Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o elemento de área é
dA=r\,dr\,d\theta.
Explicação: o fator r aparece por causa da mudança de variáveis (área de um anel pequeno).
A região semidisco corresponde a
0\le r\le a,\qquad 0\le\theta\le\pi.

Passo 4

Cálculo de \bar{x} em coordenadas polares.
Escrevemos o momento em relação ao eixo y:
\iint x\,dA=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} (r\cos\theta)\,(r\,dr\,d\theta)=\int_{0}^{\pi}\cos\theta\left(\int_{0}^{a} r^{2}\,dr\right)d\theta.
Agora observe que \cos\theta é função ímpar em relação a \theta=\pi/2 no intervalo [0,\pi] e a integral de \cos\theta de 0 a \pi é zero. Portanto
\iint x\,dA=0.
Assim
\bar{x}=\frac{1}{A}\cdot 0=0.
Explicação simples: por simetria a massa à esquerda e à direita do eixo y se cancelam, então \bar{x}=0.

Passo 5

Cálculo de \bar{y} em coordenadas polares.
Montamos o momento em relação ao eixo x:
\iint y\,dA=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{a} (r\sin\theta)\,(r\,dr\,d\theta) =\int_{0}^{\pi}\sin\theta\left(\int_{0}^{a} r^{2}\,dr\right)d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{a} r^{2}\,dr=\frac{a^{3}}{3}.
Substitua:
\iint y\,dA=\frac{a^{3}}{3}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta.
Calcule a integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=[-\cos\theta]_{0}^{\pi}=(-\cos\pi)-(-\cos 0)=(-(-1))-(-1)=2.
Logo
\iint y\,dA=\frac{a^{3}}{3}\cdot 2=\frac{2a^{3}}{3}.

Passo 6

Agora usamos A=\dfrac{1}{2}\pi a^{2} e obtemos
\bar{y}=\frac{1}{A}\iint y\,dA =\frac{ \dfrac{2a^{3}}{3} }{ \dfrac{1}{2}\pi a^{2} }.
Simplificando:
\bar{y}=\frac{2a^{3}}{3}\cdot\frac{2}{\pi a^{2}}=\frac{4a}{3\pi}.
Portanto, pela forma polar encontramos
\big(\bar{x},\bar{y}\big)=\left(0,\frac{4a}{3\pi}\right).

Passo 7

Segunda forma (verificação): usar coordenadas cartesianas (dupla integral em x,y). Isso também é um método elementar que se aprende antes de polares; faço aqui para reforçar a compreensão.
Em cartesianas:
\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{-a}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} x\,dy\,dx,\qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\int_{-a}^{a}\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} y\,dy\,dx.

Passo 8

Calcule \bar{x} em cartesianas. Para cada x a integral interna em y de x é x\cdot(\text{altura}) e a região é simétrica em x, logo
\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} x\,dy = x\sqrt{a^{2}-x^{2}}.
Integrando de -a a a uma função ímpar x\sqrt{a^{2}-x^{2}} dá zero, portanto \bar{x}=0. Isso confirma a simetria e o resultado obtido antes.

Passo 9

Calcule \bar{y} em cartesianas.
Integral interna em y:
\int_{0}^{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} y\,dy=\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2}\big(a^{2}-x^{2}\big).
Assim o numerador do momento é
\int_{-a}^{a}\frac{1}{2}\big(a^{2}-x^{2}\big)\,dx=\frac{1}{2}\left[\;a^{2}\cdot(2a)-\int_{-a}^{a}x^{2}\,dx\;\right].
Calcule \int_{-a}^{a}x^{2}\,dx=2\int_{0}^{a}x^{2}\,dx=2\cdot\frac{a^{3}}{3}=\frac{2a^{3}}{3}. Então
\text{numerador}=\frac{1}{2}\left(2a^{3}-\frac{2a^{3}}{3}\right) =\frac{1}{2}\cdot\frac{4a^{3}}{3}=\frac{2a^{3}}{3}.
Isso é exatamente o mesmo numerador que obtivemos na forma polar. Dividindo por A=\dfrac{1}{2}\pi a^{2} obtemos novamente
\bar{y}=\frac{ \dfrac{2a^{3}}{3} }{ \dfrac{1}{2}\pi a^{2} }=\frac{4a}{3\pi}.

Passo 10

Conclusão e comentário final: tanto pela mudança para coordenadas polares quanto pela integral em coordenadas cartesianas obtemos as mesmas coordenadas do centroide. O resultado é intuitivo: \bar{x}=0 por simetria e \bar{y} fica acima da origem, a uma distância \dfrac{4a}{3\pi}.

Resposta

\displaystyle \big(\bar{x},\bar{y}\big)=\left(0,\frac{4a}{3\pi}\right)

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