Seja D o disco de raio a centrado na origem. Usando integração dupla em coordenadas polares, confirme a fórmula A=\pi a^{2} para a área de D.

Passo 1

O enunciado pede: confirmar, usando integração dupla em coordenadas polares, a fórmula da área do disco D de raio a centrado na origem,
A=\pi a^{2}.
Informações dadas e condições do problema:
  • D é o disco centrado na origem com raio a>0. Em coordenadas cartesianas isso é o conjunto \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\}.
  • Queremos calcular a área de D usando integração dupla e a mudança para coordenadas polares.
    Nada mais é pedido além de confirmar a fórmula da área.

Passo 2

O que são coordenadas polares e como elas parametram o disco: em coordenadas polares representamos um ponto por (r,\theta) onde r\ge0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. As relações entre polares e cartesianas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
No disco D o raio varia de 0 até a e o ângulo varia de 0 até 2\pi. Logo o domínio em (r,\theta) correspondente a D é
0\le r\le a,\qquad 0\le \theta<2\pi.

Passo 3

Elemento de área nas coordenadas polares: para trocar a integração \iint_{D} dA de (x,y) para (r,\theta) precisamos do fator de escala (o jacobiano) que transforma dx\,dy em termos de dr\,d\theta. Há duas formas de ver isso: uma geométrica e outra via determinante.
Geometricamente: um pequeno retângulo no plano (r,\theta) com lados dr e d\theta se transforma no plano (x,y) em um pequeno setor circular de raio r e ângulo d\theta; a largura radial do setor é dr e o arco tem comprimento aproximadamente r\,d\theta. A área desse setor é aproximadamente
\text{área} \approx (r\,d\theta)\cdot (dr) = r\,dr\,d\theta.á
Portanto, intuitivamente dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Formalmente (jacobiano): a matriz jacobiana da transformação (r,\theta)\mapsto(x,y) é
J=\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[6pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det J = (\cos\theta)(r\cos\theta) - (-r\sin\theta)(\sin\theta) = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Como queremos o valor absoluto do jacobiano, obtemos |\det J|=r. Assim,
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.]

Passo 4

Montando a integral dupla para a área do disco: a área A é a integral de 1 sobre D:
A=\iint_{D} 1\,dA.
Fazendo a mudança para polares e usando dx\,dy=r\,dr\,d\theta, com os limites indicados no Passo 2, obtemos
A=\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{a} r\,dr\,d\theta.
Aqui cada peça significa: \theta varre todo o ângulo em torno da origem e, para cada \theta, r vai de 0 até a. O integrando r vem do jacobiano.

Passo 5

Calcule a integral interna em r:
\int_{r=0}^{a} r\,dr = \left.\tfrac{1}{2}r^{2}\right|_{0}^{a} = \tfrac{1}{2}a^{2}.
Substituindo na integral em \theta temos
A=\int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{2}a^{2}\,d\theta.

Passo 6

Calcule a integral em \theta e finalize:
\int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{2}a^{2}\,d\theta = \tfrac{1}{2}a^{2}\cdot (2\pi) = \pi a^{2}.
Portanto a área do disco de raio a é \pi a^{2}, como queríamos confirmar.

Resposta

A=\pi a^{2}

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