Seja D o disco de raio a centrado na origem. Usando integração dupla em coordenadas polares, confirme a fórmula A=\pi a^{2} para a área de D.
Passo 1
O enunciado pede: confirmar, usando integração dupla em coordenadas polares, a fórmula da área do disco D de raio a centrado na origem,
A=\pi a^{2}.
Informações dadas e condições do problema:
D é o disco centrado na origem com raio a>0. Em coordenadas cartesianas isso é o conjunto \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le a^{2}\}.
Queremos calcular a área de D usando integração dupla e a mudança para coordenadas polares.
Nada mais é pedido além de confirmar a fórmula da área.
Passo 2
O que são coordenadas polares e como elas parametram o disco: em coordenadas polares representamos um ponto por (r,\theta) onde r\ge0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. As relações entre polares e cartesianas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
No disco D o raio varia de 0 até a e o ângulo varia de 0 até 2\pi. Logo o domínio em (r,\theta) correspondente a D é
0\le r\le a,\qquad 0\le \theta<2\pi.
Passo 3
Elemento de área nas coordenadas polares: para trocar a integração \iint_{D} dA de (x,y) para (r,\theta) precisamos do fator de escala (o jacobiano) que transforma dx\,dy em termos de dr\,d\theta. Há duas formas de ver isso: uma geométrica e outra via determinante.
Geometricamente: um pequeno retângulo no plano (r,\theta) com lados dr e d\theta se transforma no plano (x,y) em um pequeno setor circular de raio r e ângulo d\theta; a largura radial do setor é dr e o arco tem comprimento aproximadamente r\,d\theta. A área desse setor é aproximadamente