Calcule g circ f e f circ g em cada um dos seguintes casos:
f(x)=1x, g(x)=xx-1

Passo 1

O enunciado pede que, dadas as funções
f(x)=1x e g(x)=xx-1,
calculemos as composições gcirc f e fcirc g. O conteúdo envolve substituição e simplificação algébrica de funções racionais, além de observar restrições de domínio.

Passo 2

Para calcular gcirc f, definimos
gcirc f(x)=gl(f(x)r)=g!l(tfrac1xr)
Substituindo x por tfrac1x em g(x)=tfracxx-1, obtemos
g(f(x))=tfrac1xtfrac1x-1

Passo 3

Simplificando g(f(x)):
tfrac1xtfrac1-xx =1xcdotx1-x =11-x
Logo,
gcirc f(x)=11-x
Para essa expressão faz sentido precisamos de xneq0 (para f) e de f(x)neq1, ou seja 1/xneq1, portanto xneq1.

Passo 4

Para calcular fcirc g, definimos
fcirc g(x)=fl(g(x)r)=f!l(tfracxx-1r)
Substituindo em f(x)=tfrac1x, temos
f(g(x))=1tfracxx-1

Passo 5

Simplificando f(g(x)):
1tfracxx-1 =x-1x
Portanto,
fcirc g(x)=x-1x
Aqui precisamos de xneq1 (para g) e de g(x)neq0, ou seja xneq0.

Resposta

gcirc f(x)=dfrac11-x, para xneq0,1.
fcirc g(x)=dfracx-1x, para xneq0,1.

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