1. sumk=1^infty (-1)^k+1 k^2(k+2)!

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série
S=sumk=1^infty(-1)^k+1k^2(k+2)!
O conteúdo envolvido são séries de potências e, em particular, as expansões de e^x e suas derivadas, que nos dão as somas
summ=0^inftyx^mm!=e^x,
summ=0^inftym,x^mm!=x,e^x e
summ=0^inftym^2x^mm!=(x^2+x)e^x.

Passo 2

Fazemos a mudança de índice m=k+2. Então k=m-2, k+2=m e (-1)^k+1=(-1)^m-1=-(-1)^m. A série vira
S=summ=3^infty(-1)^k+1k^2(k+2)! =-summ=3^infty(-1)^m,(m-2)^2m!

Passo 3

Para usar as somas conhecidas, estendemos a soma de m=3 até m=0 e compensamos os três primeiros termos:
S=-gl( summ=0^infty(-1)^m(m-2)^2m! -summ=0^2(-1)^m(m-2)^2m! gr)

Passo 4

Calculamos a soma finita para m=0,1,2:
(m-2)^2=4,1,0 e summ=0^2(-1)^m(m-2)^2m! =4 - 1 + 0 = 3

Passo 5

Expandimos (m-2)^2=m^2-4m+4 na soma infinita e usamos as identidades em x=-1:
summ=0^infty(-1)^m(m-2)^2m! =summ=0^infty(-1)^m m^2m! -4summ=0^infty(-1)^m mm! +4summ=0^infty(-1)^mm!
Como
sum(-1)^m/m!=e^-1,
sum m(-1)^m/m!=-,e^-1 e
sum m^2(-1)^m/m!=(1-1)e^-1=0,
segue
summ=0^infty(-1)^m(m-2)^2m! =0 -4(-e^-1) +4e^-1 =8e^-1

Passo 6

Finalmente
S=-l(8e^-1-3r) =3-8e^-1

Resposta

boxed3 - tfrac8e

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