Esboce o gráfico de um exemplo de uma função
que todas as condições dadas:
não está definida;
tem uma assíntota ta horizontal em
,
tem uma assíntota vertical em
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é o desafio de desenhar o gráfico de uma função
que precisa cumprir várias condição. A matéria envolvida é principalmente limites e assíntotas, que a gente usa para entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Vamos precisar analisar os limites pela esquerda e pela direita nos pontos 0 e 2, além de considerar as assíntotas horizontais e verticais que a função possui.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o ponto
. O limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
) é 1, e pela direita (
) é -1. Isso significa que, quando nos aproximamos de 0 por valores menores que 0, a função se aproxima de 1, e por valores maiores que 0, ela se aproxima de -1. Como os limites laterais são diferentes, temos uma descontinuidade no ponto 0.
Passo 3
Agora, vamos para o ponto
. O limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
) é 0, e pela direita (
) é 1. Além disso, sabemos que
. Isso indica que a função se aproxima de 0 à esquerda de 2 e de 1 à direita, e no próprio ponto 2, o valor é 1. Portanto, há uma mudança suave na função em torno de
.
Passo 4
Vamos considerar as assíntotas. A função tem uma assíntota horizontal em
. Isso quer dizer que, para valores muito grandes ou muito pequenos de
, a função se aproxima da linha
. Além disso, há uma assíntota vertical em
, indicando que a função tende ao infinito quando
se aproxima de -1. Isso cria uma “barreira” vertical no gráfico.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
- Em
, a função tem uma descontinuidade com limites diferentes pela esquerda e direita. - Em
, a função passa suavemente, com . - A assíntota horizontal em
guia o comportamento da função para extremos de . - A assíntota vertical em
cria uma divisão no gráfico, fazendo com que a função vá para ou perto desse ponto.
Resposta
Desenhando conforme os passos, o gráfico de
apresenta:
- Uma descontinuidade em
com se aproximando de 1 pela esquerda e -1 pela direita. - Passagem suave por
, onde . - Assíntota horizontal em
. - Assíntota vertical em
.
Esse esboço atende a todas as condições especificadas no exercício.