Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que todas as condições dadas:
lim x 0^- f(x)=1, lim x 0^+ f(x)=-1, lim x 2^- f(x)=0, lim x 2^+ f(x)=1
f(2)=1, f(0) não está definida; f tem uma assíntota ta horizontal em y=2, f tem uma assíntota vertical em x=-1

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é o desafio de desenhar o gráfico de uma função f que precisa cumprir várias condição. A matéria envolvida é principalmente limites e assíntotas, que a gente usa para entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Vamos precisar analisar os limites pela esquerda e pela direita nos pontos 0 e 2, além de considerar as assíntotas horizontais e verticais que a função possui.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o ponto x = 0 . O limite quando x se aproxima de 0 pela esquerda ( 0^- ) é 1, e pela direita ( 0^+ ) é -1. Isso significa que, quando nos aproximamos de 0 por valores menores que 0, a função se aproxima de 1, e por valores maiores que 0, ela se aproxima de -1. Como os limites laterais são diferentes, temos uma descontinuidade no ponto 0.

Passo 3

Agora, vamos para o ponto x = 2 . O limite quando x se aproxima de 2 pela esquerda ( 2^- ) é 0, e pela direita ( 2^+ ) é 1. Além disso, sabemos que f(2) = 1 . Isso indica que a função se aproxima de 0 à esquerda de 2 e de 1 à direita, e no próprio ponto 2, o valor é 1. Portanto, há uma mudança suave na função em torno de x = 2 .

Passo 4

Vamos considerar as assíntotas. A função tem uma assíntota horizontal em y = 2 . Isso quer dizer que, para valores muito grandes ou muito pequenos de x , a função se aproxima da linha y = 2 . Além disso, há uma assíntota vertical em x = -1 , indicando que a função tende ao infinito quando x se aproxima de -1. Isso cria uma “barreira” vertical no gráfico.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
  • Em x = 0 , a função tem uma descontinuidade com limites diferentes pela esquerda e direita.
  • Em x = 2 , a função passa suavemente, com f(2) = 1 .
  • A assíntota horizontal em y = 2 guia o comportamento da função para extremos de x .
  • A assíntota vertical em x = -1 cria uma divisão no gráfico, fazendo com que a função vá para +infty ou -infty perto desse ponto.

Resposta

Desenhando conforme os passos, o gráfico de f apresenta:
  • Uma descontinuidade em x = 0 com f(x) se aproximando de 1 pela esquerda e -1 pela direita.
  • Passagem suave por x = 2 , onde f(2) = 1 .
  • Assíntota horizontal em y = 2 .
  • Assíntota vertical em x = -1 .
Esse esboço atende a todas as condições especificadas no exercício.

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