Calcule g circ f e f circ g em cada um dos seguintes casos:
f(x)=raizx^2-1, g(x)=e^x^22

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções
f(x)=raizx^2-1 e g(x)=e^x^22,
e pede as composições ,gcirc f e ,fcirc g.
Para isso, vamos lembrar que
  • ,(gcirc f)(x)=gl(f(x)r),
  • ,(fcirc g)(x)=fl(g(x)r),
    além de verificar o domínio de cada composição.

Passo 2

Calcular ,(gcirc f)(x)=gl(f(x)r).
Como g(y)=e^y^22, basta substituir y=f(x):
(gcirc f)(x) = exp!l([,f(x),]^22r) = exp!l(l(raizx^2-1r)^22r) = exp!l(x^2-12r)
O domínio de gcirc f é o mesmo de f, pois g está definido em todo R. Em f(x)=raizx^2-1 precisamos de
x^2-1>=0 ;Longrightarrow; |x|>=1

Passo 3

Calcular ,(fcirc g)(x)=fl(g(x)r).
Como f(y)=raizy^2-1, substituímos y=g(x)=e^x^22:
(fcirc g)(x) = raizl[e^x^22r]^2-1 = raize^x^2-1
Para o domínio, exigimos
e^x^2-1>=0 ;Longrightarrow; e^x^2>=1,
o que vale para todo xinR. Logo, ,fcirc g está definido em todo R.

Resposta

(gcirc f)(x)=exp!l(tfracx^2-12r), com domínio |x|>=1.
(fcirc g)(x)=raize^x^2-1, com domínio R.

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