Calcule f \circ g \circ h para as seguintes funções:
f(x)=x^{2}+1, g(x)=\ln (x) e h(x)=e^{x}.

Passo 1

O enunciado dá três funções e pede a composição f\circ g\circ h. Informações fornecidas:
  • f(x)=x^{2}+1.
  • g(x)=\ln(x).
  • h(x)=e^{x}.
    O que o problema pede: calcular a função composta f\circ g\circ h, ou seja, determinar a expressão de
(f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g(h(x))\bigr).

Passo 2

Entendendo composição de funções (aula rápida e prática). A composição f\circ g é definida por
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Isso significa que primeiro avalia-se g em x e depois aplica-se f ao resultado. Para três funções:
(f\circ g\circ h)(x)=f\bigl(g(h(x))\bigr),
ou seja, avalia-se h em x, depois g no resultado de h, e por fim f no resultado disso.

Passo 3

Bom plano: calcular de dentro para fora, começando por g\circ h. Calculemos g(h(x)):
g(h(x))=\ln\bigl(e^{x}\bigr).
Aqui entra uma propriedade básica e muito útil: \ln e e^{(\cdot)} são funções inversas (no domínio adequado). Como e^{x}>0 para todo x\in\mathbb{R}, tem-se
\ln\bigl(e^{x}\bigr)=x.
Exemplo concreto para fixar: \ln(e^{3})=3, \ln(e^{0})=0. Então concluímos que
(g\circ h)(x)=x.

Passo 4

Agora aplicamos f ao resultado de g\circ h. Como (g\circ h)(x)=x, temos
(f\circ g\circ h)(x)=f\bigl((g\circ h)(x)\bigr)=f(x).
E f(x) é dada por
f(x)=x^{2}+1.

Passo 5

Verificação de domínio (importante na prova): h(x)=e^{x} está definida para todo x\in\mathbb{R} e produz valores positivos; portanto g(h(x))=\ln(e^{x}) está definida para todo x\in\mathbb{R}. Assim a composição está definida para todo x\in\mathbb{R} e o resultado final é válido para todos os reais.

Passo 6

Resumo didático: como g\circ h é a função identidade x\mapsto x, compor f com essa identidade retorna f. Logo a composição total é simplesmente f.

Resposta

(f\circ g\circ h)(x)=x^{2}+1

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