Calcule
para as seguintes funções:
e
.
Passo 1
O enunciado dá três funções e pede a composição
. Informações fornecidas:
-
. -
. -
.
O que o problema pede: calcular a função composta, ou seja, determinar a expressão de
Passo 2
Entendendo composição de funções (aula rápida e prática). A composição
é definida por
Isso significa que primeiro avalia-se
em
e depois aplica-se
ao resultado. Para três funções:
ou seja, avalia-se
em
, depois
no resultado de
, e por fim
no resultado disso.
Passo 3
Bom plano: calcular de dentro para fora, começando por
. Calculemos
:
Aqui entra uma propriedade básica e muito útil:
e
são funções inversas (no domínio adequado). Como
para todo
, tem-se
Exemplo concreto para fixar:
,
. Então concluímos que
Passo 4
Agora aplicamos
ao resultado de
. Como
, temos
E
é dada por
Passo 5
Verificação de domínio (importante na prova):
está definida para todo
e produz valores positivos; portanto
está definida para todo
. Assim a composição está definida para todo
e o resultado final é válido para todos os reais.
Passo 6
Resumo didático: como
é a função identidade
, compor
com essa identidade retorna
. Logo a composição total é simplesmente
.