Calcule f \circ g \circ h para as seguintes funções:
f(x)=2 x^{2}, g(x)=-e^{-x} e h(x)=t g(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular f\circ g\circ h dadas as funções:
f(x)=2x^{2},\qquad g(x)=-e^{-x},\qquad h(x)=t\,g(x).
Precisamos entender o que significa a composição f\circ g\circ h: isso quer dizer aplicar h ao argumento x, em seguida aplicar g ao resultado h(x), e por fim aplicar f ao resultado g(h(x)). Em notação:
(f\circ g\circ h)(x)=f\big(g(h(x))\big).
Observação sobre t: como o enunciado escreveu h(x)=t\,g(x), trata-se de um parâmetro constante t multiplicando g(x). Vou manter t como constante durante os cálculos.

Passo 2

Primeiro obtenho explicitamente h(x) substituindo g(x) em h(x)=t\,g(x).
h(x)=t\cdot g(x)=t\cdot\big(-e^{-x}\big).
Simplificando:
h(x)=-t\,e^{-x}.
Explicação didática: aqui usei substituição direta: onde aparecia g(x) coloquei -e^{-x}. Multiplicar por t resulta em -t e^{-x}.

Passo 3

Agora calculo g(h(x)). A definição é g(u)=-e^{-u}; para obter g(h(x)) substituo u por h(x):
g(h(x))=-e^{-\,h(x)}.
Substituindo h(x)=-t\,e^{-x} que já encontramos:
g(h(x))=-e^{-(-t\,e^{-x})}.
Uso a propriedade de sinais em expoentes: -(-t\,e^{-x})=t\,e^{-x}. Então
g(h(x))=-e^{\,t\,e^{-x}}.
Comentário pedagógico: cuidado com os sinais dentro do expoente; e^{-(-A)}=e^{A}.

Passo 4

Finalmente aplico f a g(h(x)). A definição é f(u)=2u^{2}. Substituindo u=g(h(x)):
f(g(h(x)))=2\big(g(h(x))\big)^{2}.
Já sabemos que g(h(x))=-e^{t\,e^{-x}}, então
f(g(h(x)))=2\big(-e^{t\,e^{-x}}\big)^{2}.
Agora simplifico o quadrado: \big(-e^{A}\big)^{2}=(-1)^{2}\,e^{2A}=e^{2A}. Usando A=t\,e^{-x},
f(g(h(x)))=2\,e^{2t\,e^{-x}}.
Explicação das regras usadas: ao elevar uma exponencial ao quadrado, multiplica-se o expoente por 2, porque (e^{A})^{2}=e^{2A}. O sinal negativo some pois (-1)^{2}=1.

Passo 5

Interpretação final e observações úteis para a prova:
  • O resultado depende do parâmetro constante t; para cada valor de t obtém-se uma função diferente de x.
  • A função composta está bem definida para todo x\in\mathbb{R} porque exponenciais estão definidas para qualquer número real.
  • Passos-chave para fazer esse tipo de questão na prova: calcular h(x) explicitamente, substituir em g para obter g(h(x)), e por fim substituir em f e simplificar usando propriedades de potências e exponenciais.

Resposta

2e^{2t\,e^{-x}}

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