Sabendo que F(x)=f \circ g(x). Determine quem são as funções f e g em cada caso.
F(x)=\left(2 x+x^{2}\right)^{4}.

Passo 1

O enunciado dá a função F definida por
F(x)=\left(2x+x^{2}\right)^{4}
e pede para escrever F como composição F=f\circ g, isto é, encontrar funções f e g tais que
F(x)=f\bigl(g(x)\bigr).
Vou listar claramente o que se pede: encontrar uma função g(x) (a “interna”) e uma função f (a “externa”) de modo que, ao aplicar g em x e em seguida f no resultado, obtenha-se exatamente \left(2x+x^{2}\right)^{4}.

Passo 2

Explicando a ideia de composição de forma simples: se F(x)=f\bigl(g(x)\bigr), então a expressão inteira F(x) é obtida aplicando primeiro g a x e depois aplicando f ao valor g(x).
Um truque prático para reconhecer f e g é olhar para a “estrutura” da expressão. Aqui vemos uma potência de expoente 4 aplicada a uma expressão interna \,2x+x^{2}\,. Isso sugere naturalmente que a parte externa f seja a função que eleva ao quarto poder e que a parte interna g seja a expressão 2x+x^{2}.

Passo 3

Escolhendo a decomposição mais direta:
  • Definir a variável genérica da função externa por u e tomar
f(u)=u^{4}.
Aqui u é só um nome de variável; o importante é a regra f transforma um número u em u^{4}.
  • Tomar a função interna
g(x)=2x+x^{2}.

Passo 4

Verificação explícita da composição (mostrar que isso funciona na prova):
Calcular f\bigl(g(x)\bigr):
f\bigl(g(x)\bigr)=\bigl(g(x)\bigr)^{4}=\bigl(2x+x^{2}\bigr)^{4},
que é exatamente F(x). Portanto essa escolha de f e g resolve o problema.

Passo 5

Comentário didático sobre notação e variável: é comum renomear a variável da função externa (usei u), porque a composição f(g(x)) significa que se substitui a variável de f por g(x). O nome da variável em f não importa (poderia ser f(t)=t^{4} ou f(v)=v^{4}).

Passo 6

Observação importante: a decomposição não é única. Por exemplo, outra decomposição válida é escolher a interna já elevada ao quadrado e a externa como quadrado também:
  • Tomar
g_{2}(x)=\bigl(2x+x^{2}\bigr)^{2}, \qquad f_{2}(u)=u^{2}.
Então
f_{2}\bigl(g_{2}(x)\bigr)=\bigl((2x+x^{2})^{2}\bigr)^{2}=(2x+x^{2})^{4}=F(x).
Isso mostra que existem várias formas de escrever uma mesma função como composição; em provas normalmente escolhe-se a decomposição mais simples (a do Passo 3).

Passo 7

Resumo didático rápido para a prova: quando vir uma expressão do tipo \bigl(\text{algo}\bigr)^{n}, a decomposição natural é g(x)=\text{algo} e f(u)=u^{n}. Sempre verifique substituindo g(x) em f.

Resposta

f(u)=u^{4},\quad g(x)=2x+x^{2}
Alternativa válida: f(u)=u^{2},\quad g(x)=(2x+x^{2})^{2}

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