Sabendo que
. Determine quem são as funções
e
em cada caso.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para escrever
como composição
, isto é, encontrar funções
e
tais que
Vou listar claramente o que se pede: encontrar uma função
(a “interna”) e uma função
(a “externa”) de modo que, ao aplicar
em
e em seguida
no resultado, obtenha-se exatamente
.
Passo 2
Explicando a ideia de composição de forma simples: se
, então a expressão inteira
é obtida aplicando primeiro
a
e depois aplicando
ao valor
.
Um truque prático para reconhecer
e
é olhar para a “estrutura” da expressão. Aqui vemos uma potência de expoente
aplicada a uma expressão interna
. Isso sugere naturalmente que a parte externa
seja a função que eleva ao quarto poder e que a parte interna
seja a expressão
.
Passo 3
Escolhendo a decomposição mais direta:
- Definir a variável genérica da função externa por
e tomar
Aqui
é só um nome de variável; o importante é a regra
transforma um número
em
.
- Tomar a função interna
Passo 4
Verificação explícita da composição (mostrar que isso funciona na prova):
Calcular
:
que é exatamente
. Portanto essa escolha de
e
resolve o problema.
Passo 5
Comentário didático sobre notação e variável: é comum renomear a variável da função externa (usei
), porque a composição
significa que se substitui a variável de
por
. O nome da variável em
não importa (poderia ser
ou
).
Passo 6
Observação importante: a decomposição não é única. Por exemplo, outra decomposição válida é escolher a interna já elevada ao quadrado e a externa como quadrado também:
- Tomar
Então
Isso mostra que existem várias formas de escrever uma mesma função como composição; em provas normalmente escolhe-se a decomposição mais simples (a do Passo 3).
Passo 7
Resumo didático rápido para a prova: quando vir uma expressão do tipo
, a decomposição natural é
e
. Sempre verifique substituindo
em
.
Resposta
Alternativa válida: