Calcule a circulação do campo vetorial
F(x, y, z)=(z-y, z+x, x+y)
na curva intersecção do cone x^2+y^2=z^2 com o plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede a circulação do campo vetorial
F(x,y,z) = (z - y,; z + x,; x + y)
na curva de interseção do cone x^2+y^2=z^2 com o plano z=4.
Essa curva é um círculo de raio 4 situado em z=4. Vamos usar o Teorema de Stokes para transformar a integral de linha numa integral de superfície.

Passo 2

Escolhemos como superfície S o disco no plano z=4 definido por
x^2+y^2<=16, z=4
O contorno partial S é exatamente o círculo dado, e adotamos a orientação positiva (contra-horária vista de cima), compatível com o vetor normal n=k.

Passo 3

Calculamos o rotor de F:
nablatimesF = i & j & k partialx & partialy & partialz z-y & z+x & x+y = l(0,;0,;2r)

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
ointpartial SFcdot dr =integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS =integral duplaS2,dS =2cdotl(área do disco de raio 4r) =2cdotpicdot4^2 =32pi á

Resposta

A circulação vale 32pi.

Exercícios relacionados