Encontre v1(t) e v2(t) a partir do seguinte sistema trigonométrico:
l v1^prime cos 2 t+v2^prime sin 2 t=0 v1^prime(-2 sin 2 t)+v2^prime(2 cos 2 t)=sin ^2 2 t

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! Temos um sistema de equações trigonométricas envolvendo as derivadas de v1(t) e v2(t) . O objetivo é encontrar as funções v1(t) e v2(t) . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especialmente de sistemas de equações lineares e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar a visualização:
v1^prime cos 2t + v2^prime sin 2t = 0 -2 v1^prime sin 2t + 2 v2^prime cos 2t = sin^2 2t
Aqui, v1^prime e v2^prime representam as derivadas de v1(t) e v2(t) em relação a t .

Passo 3

Nosso próximo passo é resolver esse sistema para encontrar v1^prime e v2^prime . Podemos fazer isso usando métodos de álgebra linear, como a regra de Cramer ou a eliminação de variáveis.
Vamos representar o sistema na forma matricial:
cos 2t & sin 2t -2 sin 2t & 2 cos 2t v1^prime v2^prime = 0 sin^2 2t

Passo 4

Para resolver esse sistema, precisamos encontrar a matriz inversa ou calcular o determinante. Vamos calcular o determinante De<a da matriz dos coeficientes:
De<a = cos 2t cdot 2 cos 2t - (-2 sin 2t) cdot sin 2t = 2 cos^2 2t + 2 sin^2 2t = 2 (cos^2 2t + sin^2 2t) = 2 cdot 1 = 2
Usamos a identidade trigonométrica cos^2 x + sin^2 x = 1 .

Passo 5

Agora, vamos encontrar v1^prime e v2^prime usando a regra de Cramer:
Para v1^prime :
De<av1 = 0 & sin 2t sin^2 2t & 2 cos 2t = 0 cdot 2 cos 2t - sin 2t cdot sin^2 2t = -sin^3 2t
Então,
v1^prime = De<av1De<a = -sin^3 2t2
Para v2^prime :
De<av2 = cos 2t & 0 -2 sin 2t & sin^2 2t = cos 2t cdot sin^2 2t - 0 cdot (-2 sin 2t) = cos 2t cdot sin^2 2t
Então,
v2^prime = De<av2De<a = cos 2t cdot sin^2 2t2

Passo 6

Agora que temos v1^prime e v2^prime , precisamos encontrar v1(t) e v2(t) integrando essas expressões em relação a t :
Para v1(t) :
v1(t) = integral v1^prime dt = integral ( -sin^3 2t2 ) dt = -12 integral sin^3 2t , dt
Utilizamos a identidade sin^3 x = 3 sin x - sin 3x4 para simplificar a integral:
v1(t) = -12 cdot 14 ( 3 integral sin 2t , dt - integral sin 6t , dt ) = -18 ( -32 cos 2t + 16 cos 6t ) + C1
Simplificando:
v1(t) = 316 cos 2t - 148 cos 6t + C1
Para v2(t) :
v2(t) = integral v2^prime dt = integral ( cos 2t cdot sin^2 2t2 ) dt = 12 integral cos 2t cdot sin^2 2t , dt
Usamos a identidade sin^2 x = 1 - cos 2x2 :
v2(t) = 12 integral cos 2t cdot 1 - cos 4t2 , dt = 14 integral cos 2t - cos 2t cdot cos 4t , dt
Utilizando a identidade para o produto de cossenos:
cos 2t cdot cos 4t = cos 6t + cos 2t2
Então:
v2(t) = 14 ( integral cos 2t , dt - 12 integral cos 6t + cos 2t , dt ) = 14 ( 12 sin 2t - 12 cdot sin 6t6 + 12 cdot sin 2t2 ) + C2
Simplificando:
v2(t) = 18 sin 2t - 148 sin 6t + C2

Resposta

As soluções para o sistema são:
v1(t) = 316 cos 2t - 148 cos 6t + C1
e
v2(t) = 18 sin 2t - 148 sin 6t + C2
onde C1 e C2 são constantes de integração.

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