Calcule o fluxo do campo vetorial
F(x, y, z)=(z, y, 0)
na parte da superfície do cone x^2+y^2=z^2 com 0 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo vetorial
F(x,y,z) = (z,,y,,0)
através da parte da superfície do cone x^2+y^2=z^2 com 0<= z<=1.
Este é um problema de cálculo de integral de superfície, onde vamos parametrizar o cone, obter o vetor normal orientado para fora e depois calcular
integral duplaSFcdotn,dS.

Passo 2

Parametrizamos a superfície pelo sistema cilíndrico adaptado ao cone. Como z=raizx^2+y^2, tomamos
phi(r,theta) = (rcostheta,;rsintheta,;r),
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
partialphipartial r = (costheta,;sintheta,;1), partialphipartial theta = (-rsintheta,;rcostheta,;0)

Passo 4

O vetor normal orientado para fora do cone é dado por
n,dS = partialphipartial thetatimespartialphipartial r;dr,dtheta = (rcostheta,;rsintheta,;-r);dr,dtheta

Passo 5

Em cada ponto da superfície,
F(phi(r,theta)) = (z,;y,;0) = (r,;rsintheta,;0)
O produto escalar com n,dS é
Fcdot(n,dS) = (r),(rcostheta) + (rsintheta),(rsintheta) + 0cdot(-r) = r^2costheta ;+; r^2sin^2theta

Passo 6

Agora integramos sobre o domínio (r,theta)in[0,1]times[0,2pi]:
integral duplaSFcdotn,dS = integral0^2pi!integral0^1l(r^2costheta + r^2sin^2thetar),dr,dtheta

Passo 7

Separamos as integrais:
integral0^1r^2,dr = 13, integral0^2picostheta,dtheta = 0, integral0^2pisin^2theta,dtheta = pi
Logo
integral duplaSFcdotn,dS = 13,l(0 + pir) = pi3

Resposta

pi3

Exercícios relacionados