Resolva o seguinte sistema para v1(x) e v2(x) :
l v1^prime(e^x)+v2^prime(x e^x)=0 v1^prime(e^x)+v2^prime(e^x+x e^x)=e^xx

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as funções v1(x) e v2(x) . O exercício está trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de funções compostas. Para resolver, vamos precisar usar a regra da cadeia e técnicas de resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações que temos:
v1^prime(e^x) + v2^prime(x e^x) = 0 v1^prime(e^x) + v2^prime(e^x + x e^x) = e^xx
Nessas equações, v1^prime e v2^prime representam as derivadas das funções v1 e v2 , respectivamente. As derivadas estão avaliadas em funções de x , como e^x e x e^x .

Passo 3

Vamos chamar u = e^x e w = x e^x . Assim, as equações ficam:
v1^prime(u) + v2^prime(w) = 0 v1^prime(u) + v2^prime(u + w) = ux
Isso simplifica um pouco a visualização, mas ainda assim precisamos relacionar as derivadas.

Passo 4

Agora, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar v1^prime(u) :
[v1^prime(u) + v2^prime(u + w)] - [v1^prime(u) + v2^prime(w)] = ux - 0
Simplificando:
v2^prime(u + w) - v2^prime(w) = ux

Passo 5

Lembrando que u = e^x e w = x e^x , substituímos de volta:
v2^prime(e^x + x e^x) - v2^prime(x e^x) = e^xx
Isso nos dá uma relação entre as derivadas de v2 em dois pontos diferentes.

Passo 6

Vamos pensar que podemos integrar essa diferença para encontrar v2(x) . Mas antes, observe que a equação resultante nos dá a derivada de v2 em termos de x . Para simplificar, vamos tentar expressar tudo em termos de x .

Passo 7

Vamos reescrever a equação:
v2^prime(e^x(1 + x)) - v2^prime(x e^x) = e^xx
Aqui, e^x(1 + x) = e^x + x e^x , que já tinhamos antes.

Passo 8

Para resolver isso, vamos assumir que v2 é diferenciável e que podemos integrar em relação a x . Mas para facilitar, vamos definir uma nova variável, digamos z = x e^x . Assim, temos:
v2^prime(e^x(1 + x)) - v2^prime(z) = e^xx
Ainda assim, parece complicado. Talvez uma melhor abordagem seja resolver o sistema original diretamente.

Passo 9

Vamos voltar ao sistema original:
v1^prime(e^x) + v2^prime(x e^x) = 0 v1^prime(e^x) + v2^prime(e^x + x e^x) = e^xx
Vamos chamar a primeira equação de (1) e a segunda de (2). Subtraindo (1) de (2):
v2^prime(e^x + x e^x) - v2^prime(x e^x) = e^xx
Isso nos dá uma equação para v2^prime .

Passo 10

Vamos integrar ambos os lados em relação a x para encontrar v2(x) :
integral [v2^prime(e^x + x e^x) - v2^prime(x e^x)] dx = integral e^xx dx
A integral do lado direito não é elementar, mas vamos supor que podemos expressar v2(x) em termos de uma função conhecida.

Passo 11

Para simplificar, vamos supor que v2^prime(x e^x) = A e v2^prime(e^x + x e^x) = B . Assim, temos:
A + v2^prime(x e^x) = 0 (da equação 1) çã
A + B = e^xx (da equação 2) çã
Subtraindo a primeira da segunda, B = e^xx .

Passo 12

Agora, sabemos que:
v2^prime(e^x + x e^x) = e^xx
E da primeira equação, v1^prime(e^x) = -v2^prime(x e^x) .

Passo 13

Para encontrar v1(x) , precisamos integrar v1^prime(e^x) :
v1(x) = integral v1^prime(e^x) dx
Mas, da primeira equação, v1^prime(e^x) = -v2^prime(x e^x) . Sem uma expressão explícita para v2^prime , não podemos integrar diretamente.

Passo 14

Considerando a complexidade do sistema, uma solução completa exigiria informações adicionais ou métodos avançados. Porém, com base nas equações derivadas, podemos expressar v1(x) e v2(x) em termos de integrais envolvendo e^x e x .

Resposta

Após resolver o sistema, as funções v1(x) e v2(x) podem ser expressas em termos de integrais que envolvem funções exponenciais e polinomiais de x . A solução final dependerá da integração das expressões obtidas durante os passos anteriores.

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