Determine v1(x) e v2(x) resolvendo o seguinte sistema de equações diferenciais:
l v1^prime(-e^-x)+v2^prime(e^2 x)=0 v1^prime(-e^-x)+v2^prime(2 e^2 x)=e^3 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações diferenciais com duas funções desconhecidas, v1(x) e v2(x) . O que precisamos aqui é resolver esse sistema para encontrar as expressões dessas funções. Pra isso, vamos usar conhecimentos de equações diferenciais e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar. As equações são:
v1^prime(x)(-e^-x) + v2^prime(x)(e^2x) = 0 v1^prime(x)(-e^-x) + v2^prime(x)(2e^2x) = e^3x
Nosso objetivo é encontrar v1^prime(x) e v2^prime(x) , e de lá integrar para achar v1(x) e v2(x) .

Passo 3

Vamos montar um sistema linear para os derivados. Vamos chamar:
A = - e^-x & e^2x - e^-x & 2e^2x , v' = v1^prime(x) v2^prime(x) , b = 0 e^3x
Então, o sistema fica A v' = b .

Passo 4

Para resolver esse sistema, vamos usar o método de eliminação de Gauss ou encontrar o inverso da matriz A . Vamos calcular o determinante de A para garantir que a matriz seja invertível.
det(A) = (-e^-x)(2e^2x) - (-e^-x)(e^2x) = -2e^x + e^x = -e^x neq 0
Como o determinante é diferente de zero, a matriz A é invertível.

Passo 5

Vamos achar o inverso de A :
A^-1 = 1det(A) 2e^2x & -e^2x e^-x & -e^-x = 1-e^x 2e^2x & -e^2x e^-x & -e^-x = -2e^x & e^x -e^-2x & e^-2x

Passo 6

Agora, multiplicamos A^-1 pela matriz b para encontrar v' :
v' = A^-1 b = -2e^x & e^x - e^-2x & e^-2x 0 e^3x = -2e^x cdot 0 + e^x cdot e^3x - e^-2x cdot 0 + e^-2x cdot e^3x = e^4x e^x
Então, temos:
v1^prime(x) = e^4x, v2^prime(x) = e^x

Passo 7

Agora, vamos integrar para achar v1(x) e v2(x) :
v1(x) = integral v1^prime(x) dx = integral e^4x dx = 14 e^4x + C1
v2(x) = integral v2^prime(x) dx = integral e^x dx = e^x + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

Resposta

As soluções das equações diferenciais são:
v1(x) = 14 e^4x + C1
v2(x) = e^x + C2
Onde C1 e C2 são constantes de integração.

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