Calcule a circulação e o fluxo de F(x, y)=-y i+x j, ao longo e através do caminho fechado semicircular que consiste no arco semicircular r=a cos (t) i+a sen(t) j, t in[0 pi], seguido pelo segmento de reta r=t i, t in[-a, a].

Passo 1

O enunciado pede a circulação e o fluxo do campo
F(x,y)=-y,i+x,j
ao longo do caminho fechado C formado pelo semicírculo r(t)=acos t,i+asin t,j, tin[0,pi], mais o segmento de reta de (-a,0) até (a,0).
Conteúdo: uso do Teorema de Green para linha integral (circulação) e para integral de fluxo (formas divergente).

Passo 2

Escolhemos C orientado positivamente (região interna à esquerda). Escrevemos
F=(P,Q) com
P(x,y)=-y, Q(x,y)=x
A região D é o semidisco de raio a acima do eixo x.

Passo 3

Para a circulação ointCFcdot dvec r=ointCP,dx+Q,dy, o Teorema de Green dá
partial Qpartial x-partial Ppartial y =1-(-1)=2

Passo 4

Aplicando Green:
ointCFcdot dvec r =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA =integral duplaD2,dA =2cdotl(tfrac12pi a^2r) =pi a^2

Passo 5

Para o fluxo ointCFcdotvec n,ds, usamos a forma variante do Teorema de Green:
ointCFcdotvec n,ds =integral duplaDl(partial Ppartial x+partial Qpartial yr),dA
Calculamos a divergência:
partial Ppartial x+partial Qpartial y =0+0=0

Passo 6

Logo
ointCFcdotvec n,ds =integral duplaD0,dA =0

Resposta

Circulação =pi a^2
Fluxo =0

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