Classifique os grupos finitos de ordem 9.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para classificar os grupos finitos de ordem 9. Isso significa que precisamos entender todos os tipos possíveis de grupos que têm exatamente 9 elementos. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de Teoria de Grupos, especialmente sobre grupos abelianos e a classificação de grupos de ordem
, onde
é um número primo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que 9 é igual a
, ou seja, 9 é o quadrado de 3, que é um número primo. Uma regra importante na teoria de grupos diz que todos os grupos de ordem
(onde
é primo) são abelianos. Isso significa que, para grupos de ordem 9, todos eles vão obedecer à propriedade onde a ordem de multiplicação não importa:
.
Passo 3
Agora, sabendo que os grupos são abelianos, podemos usar o Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos, que nos diz que todo grupo abeliano finito pode ser decomposto em um produto direto de grupos cíclicos de ordens que dividem a ordem total do grupo.
Para a ordem 9, as possíveis decomposições são:
- Um único grupo cíclico de ordem 9, denotado por
ou . - Um produto direto de dois grupos cíclicos de ordem 3, ou seja,
ou .
Passo 4
Então, resumindo, os dois grupos abelianos de ordem 9 são:
-
Grupo Cíclico de Ordem 9 (
): É um grupo onde existe um elemento que gera todo o grupo. Por exemplo, se pegarmos o conjunto com a operação de adição módulo 9, cada elemento pode ser obtido a partir de somas desse elemento gerador. -
Produto Direto de Grupos Cíclicos de Ordem 3 (
): Neste grupo, temos dois elementos que geram subgrupos de ordem 3, e todo elemento do grupo pode ser expresso como uma combinação desses dois elementos. É como ter duas “direções” de ciclo de ordem 3.
Resposta
Os grupos finitos de ordem 9 são, até isomorfismo, o grupo cíclico
e o grupo abeliano
.