Classifique os grupos finitos de ordem 9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para classificar os grupos finitos de ordem 9. Isso significa que precisamos entender todos os tipos possíveis de grupos que têm exatamente 9 elementos. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de Teoria de Grupos, especialmente sobre grupos abelianos e a classificação de grupos de ordem p^2 , onde p é um número primo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que 9 é igual a 3^2 , ou seja, 9 é o quadrado de 3, que é um número primo. Uma regra importante na teoria de grupos diz que todos os grupos de ordem p^2 (onde p é primo) são abelianos. Isso significa que, para grupos de ordem 9, todos eles vão obedecer à propriedade onde a ordem de multiplicação não importa: ab = ba .

Passo 3

Agora, sabendo que os grupos são abelianos, podemos usar o Teorema Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos, que nos diz que todo grupo abeliano finito pode ser decomposto em um produto direto de grupos cíclicos de ordens que dividem a ordem total do grupo.
Para a ordem 9, as possíveis decomposições são:
  1. Um único grupo cíclico de ordem 9, denotado por Z9 ou C9 .
  2. Um produto direto de dois grupos cíclicos de ordem 3, ou seja, Z3 times Z3 ou C3 times C3 .

Passo 4

Então, resumindo, os dois grupos abelianos de ordem 9 são:
  • Grupo Cíclico de Ordem 9 ( C9 ): É um grupo onde existe um elemento que gera todo o grupo. Por exemplo, se pegarmos o conjunto 0,1,2,3,4,5,6,7,8 com a operação de adição módulo 9, cada elemento pode ser obtido a partir de somas desse elemento gerador.
  • Produto Direto de Grupos Cíclicos de Ordem 3 ( C3 times C3 ): Neste grupo, temos dois elementos que geram subgrupos de ordem 3, e todo elemento do grupo pode ser expresso como uma combinação desses dois elementos. É como ter duas “direções” de ciclo de ordem 3.

Resposta

Os grupos finitos de ordem 9 são, até isomorfismo, o grupo cíclico Z9 e o grupo abeliano Z3 times Z3 .

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