x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=x^{2} \ln (x) \quad(x>0)
(a) (1,2) Encontre a solução geral da EDO linear homogênea associada à EDO (2).
(b) (0,5) Enuncie o método de variação dos parâmetros.
(c) (1,5) Use o método de variação dos parâmetros para determinar uma solução particular da EDO (2).
(d) (0,5) Determine a solução geral da EDO (2).
(e) (1,3) Resolva o PVI
O enunciado dá a seguinte EDO de Euler–Cauchy (com x>0):
x^{2} y^{\prime \prime}-3 x y^{\prime}+4 y=x^{2}\ln(x).
As perguntas são:
(a) Encontrar a solução geral da EDO homogênea associada.
(b) Enunciar o método de variação dos parâmetros.
(c) Usar variação dos parâmetros para obter uma solução particular da EDO não homogênea dada.
(d) Determinar a solução geral da EDO completa (homogênea + particular).
(e) Resolver o problema de valor inicial (PVI) com as condições y(1)=\tfrac{1}{2} e y'(1)=-\tfrac{1}{3}.
Informações relevantes fornecidas:
Tipo de equação: Euler–Cauchy (coeficientes polinomiais em potências de x).
Termo não homogêneo do lado direito: x^{2}\ln(x).
Domínio: x>0 (importante para usar \ln(x) e a mudança t=\ln x).
Condições iniciais para o item (e): y(1)=\tfrac{1}{2}, y'(1)=-\tfrac{1}{3}.
Passo 2
Resolver a homogênea usando a técnica típica para Euler–Cauchy (passo-a-passo e didático).
Transformação padrão: para uma EDO de Euler–Cauchy procura-se soluções do tipo \;y=x^{r}\; (pois derivadas de x^{r} produzem potências de x que casam com os coeficientes). Vamos aplicar isso na equação homogênea:
x^{2}y''-3xy'+4y=0.
Calcular y',y'' para y=x^{r}:
y'=r x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)x^{r-2}.
Substituir na equação homogênea:
x^{2}\cdot r(r-1)x^{r-2} -3x\cdot r x^{r-1} + 4 x^{r} = 0.
Simplificando x^{r} (que é não nulo para x>0):
r(r-1) -3r +4 = 0.
Resolver a equação característica:
r^{2}-r-3r+4 = r^{2}-4r+4 = 0,
(r-2)^{2}=0.
Temos raiz dupla r=2 (multiplicidade 2).
Solução geral da homogênea para raiz dupla: quando r é raiz dupla, as duas soluções fundamentais são y_{1}=x^{2} e y_{2}=x^{2}\ln(x). Assim a solução geral homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{2}\ln(x),
com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.
Passo 3
Enunciado didático do método de variação dos parâmetros (parte teórica pedida em (b)) — explicando o que é e as fórmulas que usaremos.
Contexto: para uma equação linear de segunda ordem na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=G(x),
suponha que já conhecemos duas soluções linearmente independentes y_{1}(x)\) e \(y_{2}(x)\) da equação homogênea associada. O método de variação dos parâmetros busca uma solução particular \(y_{p}\) da forma
\[y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde agora u_{1},u_{2} são funções (não constantes) a determinar.
Condição auxiliar: para fixar uma única solução para u_{1},u_{2} impõe-se
u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)=0,
o que simplifica os cálculos e evita derivadas de segunda ordem de u_{1},u_{2} aparecerem.
Sistema para u_{1}',u_{2}': substituindo y_{p} na EDO e usando a condição auxiliar obtém-se o sistema linear
Resolvendo por Cramer, com Wronskiano W(x)=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}\], as expressões são
\[u_{1}'(x)=-\frac{G(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{G(x)\,y_{1}(x)}{W(x)}.\]
- Integra-se \(u_{1}',u_{2}' para obter u_{1},u_{2} (constantes de integração podem ser tomadas zero pois interessam só à solução particular). Finalmente y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.
Observação intuitiva: variação dos parâmetros permite “transformar” as constantes lineares da solução homogênea em funções para acomodar o termo não homogêneo.]
Passo 4
Aplicar variação dos parâmetros à equação dada (passo-a-passo computacional para (c)).
Colocar a equação na forma padrão dividindo por x^{2} (válido porque x>0):
y''-\frac{3}{x}y'+\frac{4}{x^{2}}y=\ln(x).
Aqui P(x)=-\dfrac{3}{x}, Q(x)=\dfrac{4}{x^{2}} e G(x)=\ln(x).
Usar as duas soluções fundamentais encontradas no Passo 2:
Integrar u_{1}' e u_{2}'. Para integrar surgem integrais do tipo \int (\ln x)^{k}\frac{dx}{x}; faça a substituição t=\ln(x)\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{x}.
Resolver o PVI do item (e): encontrar C_{1},C_{2} usando as condições y(1)=\tfrac{1}{2} e y'(1)=-\tfrac{1}{3}.
Escrever y(x)=x^{2}\Big(C_{1}+C_{2}\ln x+\dfrac{1}{6}(\ln x)^{3}\Big). Para derivar, use produto e cadeia com cuidado:
Defina A(x)=C_{1}+C_{2}\ln x+\dfrac{1}{6}(\ln x)^{3}. Então