Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico da função f(x)=x^{2}.
Calcule as equações das retas tangente e normal à curva no ponto \mathrm{P}=(1,1).

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f(x)=x^2 e, no ponto P=(1,1), as equações da reta tangente e da reta normal. O conteúdo principal é derivada de função e equação de reta.

Passo 2

Para achar o coeficiente angular da tangente usamos a derivada de f. Como f(x)=x^2, pela regra de potência,
f'(x)=2x.

Passo 3

O coeficiente angular da reta tangente em P é m=f'(1). Logo,
m=f'(1)=2\cdot1=2.

Passo 4

A equação da reta tangente em P=(1,1) com coeficiente angular m=2 vem de
y - y_0 = m\,(x - x_0),
isto é,
y - 1 = 2\,(x - 1)
\text{portanto }y=2x-2+1=2x-1.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é o negativo do inverso de 2, ou seja m_n=-\tfrac12. Usando novamente a forma ponto-inclinação em P=(1,1):
y - 1 = -\tfrac12\,(x - 1)
\text{portanto }y=-\tfrac12x+\tfrac12+1=-\tfrac12x+\tfrac32.

Resposta

O coeficiente angular da tangente é m=2.
Equação da reta tangente: y=2x-1.
Equação da reta normal: y=-\tfrac12x+\tfrac32.

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