Encontre as equações das retas tangente e normal à curva f(x)=x^{2}-4 x+3 no ponto \mathrm{P}=(4,3)

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva
f(x)=x^2-4x+3
no ponto P=(4,3).
Para isso vamos usar o conceito de derivada para obter o coeficiente angular da tangente e a relação entre os coeficientes angulares da tangente e da normal.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando a regra do poder e a linearidade:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^2\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(4x\bigr)+\frac{d}{dx}(3)=2x-4+0=2x-4.

Passo 3

A inclinação da reta tangente em x=4 é
m_{\mathrm{t}}=f'(4)=2\cdot4-4=8-4=4.

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto (4,3) usa a forma ponto‐inclinação:
y-3=4\,(x-4)
e, em forma reduzida,
y=4x-16+3\implies y=4x-13.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, logo seu coeficiente angular é o negativo do recíproco de m_{\mathrm{t}}:
m_{\mathrm{n}}=-\frac{1}{m_{\mathrm{t}}}=-\frac{1}{4}.
Usando ponto‐inclinação no mesmo P:
y-3=-\frac{1}{4}(x-4)
e, em forma reduzida,
y=-\frac{1}{4}x+1+3\implies y=-\frac{1}{4}x+4.

Resposta

reta tangente: y=4x-13
reta normal: y=-\tfrac{1}{4}x+4

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