Considere a curva \alpha(t)=(t, \sqrt{3} \cos t, \sqrt{3} \operatorname{sen} t).
(a) ( 1 ponto) Reparametrize \alpha pelo comprimento de arco a partir de t=0.
(b) ( 1 ponto) Calcule a curvatura de \alpha.
(c) (1 ponto) Calcule a torção de \alpha.
(d) (2 pontos ) \alpha é uma curva plana? Justifique a sua resposta.
e pede:
– (a) reparametrizar por comprimento de arco a partir de t=0;
– (b) calcular a curvatura \kappa;
– (c) calcular a torção \tau;
– (d) decidir se \alpha é plana.
Vamos usar: cálculo da velocidade para obter s(t) e a nova parametrização unitária; fórmulas de curvatura e torção (via produto vetorial e escalar misto); critério de planitude (\tau=0 ou não).
Uma curva é plana se, e somente se, \tau\equiv0. Aqui \tau=1/4\neq0, logo \alpha não é plana.
Resposta
(a) \beta(s)=\bigl(\tfrac{s}{2},\sqrt{3}\cos\tfrac{s}{2},\sqrt{3}\sin\tfrac{s}{2}\bigr).
(b) \kappa=\tfrac{\sqrt{3}}{4}.
(c) \tau=\tfrac{1}{4}.
(d) Não; como \tau\neq0, a curva não é plana.