Considere a curva \alpha(t)=(t, \sqrt{3} \cos t, \sqrt{3} \operatorname{sen} t).
(a) ( 1 ponto) Reparametrize \alpha pelo comprimento de arco a partir de t=0.
(b) ( 1 ponto) Calcule a curvatura de \alpha.
(c) (1 ponto) Calcule a torção de \alpha.
(d) (2 pontos ) \alpha é uma curva plana? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a curva
\alpha(t)=\bigl(t,\sqrt{3}\cos t,\sqrt{3}\sin t\bigr)
e pede:
– (a) reparametrizar por comprimento de arco a partir de t=0;
– (b) calcular a curvatura \kappa;
– (c) calcular a torção \tau;
– (d) decidir se \alpha é plana.
Vamos usar: cálculo da velocidade para obter s(t) e a nova parametrização unitária; fórmulas de curvatura e torção (via produto vetorial e escalar misto); critério de planitude ( \tau=0 ou não).

Passo 2

Calculemos a velocidade de \alpha:
\alpha'(t)=\bigl(1,\,-\sqrt{3}\sin t,\,+\sqrt{3}\cos t\bigr),
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{1+3\bigl(\sin^2t+\cos^2t\bigr)}=\sqrt{4}=2.
Como a velocidade é constante, o comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=\int_0^t2\,du=2t,
logo t=s/2. A reparametrização unitária é
\beta(s)=\alpha\bigl(s/2\bigr) =\Bigl(\tfrac{s}{2},\,\sqrt{3}\cos\!\tfrac{s}{2},\,\sqrt{3}\sin\!\tfrac{s}{2}\Bigr),
com \|\beta'(s)\|=1.

Passo 3

Numidade a \beta, temos
\beta'(s)=\bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{\sqrt{3}}2\sin\tfrac{s}{2},\,\tfrac{\sqrt{3}}2\cos\tfrac{s}{2}\bigr),
\beta''(s)=\bigl(0,\,-\tfrac{\sqrt{3}}4\cos\tfrac{s}{2},\,-\tfrac{\sqrt{3}}4\sin\tfrac{s}{2}\bigr).
A curvatura é
\kappa(s)=\|\beta''(s)\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}4\Bigr)^2\bigl(\cos^2\tfrac{s}{2}+\sin^2\tfrac{s}{2}\bigr)} =\frac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 4

Para a torção usamos a fórmula para a parametrização original:
\alpha'(t)=(1,\,-\sqrt{3}\sin t,\,\sqrt{3}\cos t), \quad \alpha''(t)=(0,\,-\sqrt{3}\cos t,\,-\sqrt{3}\sin t),
\alpha'''(t)=(0,\,+\sqrt{3}\sin t,\,-\sqrt{3}\cos t).
O produto vetorial e o escalar misto dão
\alpha'(t)\times\alpha''(t) =(3,\;\sqrt{3}\sin t,\;-\,\sqrt{3}\cos t), \quad \bigl\|\alpha'\times\alpha''\bigr\|=2\sqrt{3},
\det\bigl[\alpha',\alpha'',\alpha'''\bigr]=3.
Então
\tau(t) =\frac{\det[\alpha',\alpha'',\alpha''']}{\|\alpha'\times\alpha''\|^2} =\frac{3}{(2\sqrt{3})^2} =\frac{3}{12} =\frac14.

Passo 5

Uma curva é plana se, e somente se, \tau\equiv0. Aqui \tau=1/4\neq0, logo \alpha não é plana.

Resposta

(a) \beta(s)=\bigl(\tfrac{s}{2},\sqrt{3}\cos\tfrac{s}{2},\sqrt{3}\sin\tfrac{s}{2}\bigr).
(b) \kappa=\tfrac{\sqrt{3}}{4}.
(c) \tau=\tfrac{1}{4}.
(d) Não; como \tau\neq0, a curva não é plana.

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