Encontre as equaçōes paramétricas para a reta tangente à curva no ponto especificado.
(1 ponto) \alpha(t)=\left(\ln (t+1), t \cos (2 t), \frac{t-1}{t-2}\right) ;\left(0,0, \frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva \alpha(t)=\bigl(\ln(t+1),\,t\cos(2t),\,\tfrac{t-1}{t-2}\bigr)
e pede as equações paramétricas da reta tangente no ponto \bigl(0,0,\tfrac12\bigr).
O conteúdo é cálculo vetorial em \mathbb{R}^3: para achar a reta tangente usamos
r(s)=\alpha(t_0)+s\,\alpha'(t_0),
onde t_0 é o parâmetro que gera o ponto dado e \alpha'(t_0) é o vetor tangente.

Passo 2

Encontramos t_0 resolvendo a primeira componente igual a zero: \ln(t_0+1)=0 implica t_0+1=1, logo t_0=0.
Verificamos as outras componentes em t_0=0:
0\cdot\cos(0)=0,\qquad \frac{0-1}{0-2}=\frac{-1}{-2}=\tfrac12,
que coincidem com o ponto dado.

Passo 3

Calculamos a derivada vetor \alpha'(t) componente a componente:
- \displaystyle \frac{d}{dt}\ln(t+1)=\frac1{t+1},
- \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl[t\cos(2t)\bigr]=\cos(2t)-2t\sin(2t) (regra do produto),
- \displaystyle \frac{d}{dt}\frac{t-1}{t-2} =\frac{(1)(t-2)-(t-1)(1)}{(t-2)^2} =-\frac1{(t-2)^2}.
Em t=0 isso vale \alpha'(0)=(1,\;1,\;-\tfrac14).

Passo 4

A reta tangente parametrizada por s fica
r(s)=\bigl(0,0,\tfrac12\bigr) +s\,(1,1,-\tfrac14).
Logo as equações paramétricas são
x(s)=s,\quad y(s)=s,\quad z(s)=\tfrac12-\tfrac{s}{4}.

Resposta

x(s)=s y(s)=s z(s)=\tfrac12-\tfrac{s}{4}

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