Determine as equações das retas tangente e normal à curva f(x)=4-x^{2} no ponto P=(1,3).vimos,

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva f(x)=4 - x^{2} no ponto P=(1,3). Para isso precisamos calcular a derivada de f, que nos dá o coeficiente angular da tangente, e então usar a relação entre os coeficientes angulares para obter a normal.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4 - x^{2}\bigr) = -2x.

Passo 3

No ponto x=1 o coeficiente angular da tangente é
f'(1) = -2\cdot 1 = -2.
Usando a forma ponto-ângulo para a reta tangente:
y - 3 = -2\,(x - 1)
que em forma reduzida fica
y = -2x + 5.

Passo 4

O coeficiente angular da reta normal é o oposto do recíproco de -2, ou seja
m_{\text{normal}} = \frac{1}{2}.
Aplicando ponto-ângulo:
y - 3 = \tfrac12\,(x - 1)
e em forma reduzida:
y = \tfrac12x + \tfrac52.

Resposta

Equação da reta tangente:
y = -2x + 5
Equação da reta normal:
y = \tfrac12x + \tfrac52

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