Calcule o coeficiente de difusão do \mathrm{CO}_{2} em ar a 1 atm e 323 K utilizando:
A) Equação com base na teoria cinética;
B) Equação de Hirschfelder;
C) Equação de Fuller;
D) Extrapolando dados experimentais da tabela J. 1

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de difusão binária de \mathrm{CO}_2 em ar a 1 atm e 323 K usando quatro abordagens:
– (A) teoria cinética (mfp e velocidade média),
– (B) equação de Hirschfelder (Chapman–Enskog),
– (C) correlação de Fuller,
– (D) extrapolação de dados experimentais (Tabela J.1).
Vamos precisar de constantes termodinâmicas k_B, p, T, massas molares e diâmetros de colisão para \mathrm{CO}_2 e ar, volumes de Fuller, e, para (D), os dados da Tabela J.1 (que não foi fornecida).

Passo 2

Na teoria cinética,
D = \tfrac{1}{3}\,\lambda\,\bar{c}
com
\lambda = \frac{k_B\,T}{\sqrt{2}\,\pi\,\sigma^2\,p}, \qquad \bar{c} = \sqrt{\frac{8\,k_B\,T}{\pi\,\mu}},
onde k_B=1{,}38\times10^{-23},J/K, p=1{,}013\times10^5,Pa, T=323,K. Usamos diâmetros de colisão aproximados \sigma_{\mathrm{CO}_2}=3{,}996,Å, \sigma_{\rm ar}=3{,}798,Å, de modo que \sigma=(\sigma_{\mathrm{CO}_2}+\sigma_{\rm ar})/2=3{,}897
e massa reduzida \mu = \frac{m_{\mathrm{CO}_2}\,m_{\rm ar}}{m_{\mathrm{CO}_2}+m_{\rm ar}},
com m_i=M_i/N_A e M_{\mathrm{CO}_2}=44,g/mol, M_{\rm ar}=29,g/mol.
Calculando, obtém-se \lambda\approx6{,}5\times10^{-8},m, \bar{c}\approx626,m/s,
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D \approx \tfrac{1}{3}\,(6{,}5\times10^{-8})\,(626) =1{,}36\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}.

Passo 3

Na equação de Hirschfelder (Chapman–Enskog) para difusão gasosa:
D = \frac{3}{16}\,\frac{k_B\,T}{p\,\sigma^2\,\Omega_D}\, \sqrt{\frac{2\pi\,k_B\,T}{\mu}}.
Aqui \Omega_D é a integral de colisão (função adimensional de T^* = T/\varepsilon^*),
com \varepsilon^* = \sqrt{\varepsilon_{\mathrm{CO}_2}\,\varepsilon_{\rm ar}} e \varepsilon_{\mathrm{CO}_2}/k_B=195{,}2,K, \varepsilon_{\rm ar}/k_B=71{,}4,K → \varepsilon^*/k_B=118{,}1,K → T^*=323/118{,}1\approx2{,}73.
Tabelando, \Omega_D(2{,}7)\approx1{,}10.
Substituindo os mesmos \sigma e \mu do passo anterior,
D \approx 1{,}11\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}.

Passo 4

Na correlação de Fuller para difusão binária em gases (unidades: D em cm ^2/s, T em K, p em atm, M em g/mol, V em cm ^3/mol):
D = 0{,}00143\, \frac{T^{1{,}75}}{p\,\sqrt{\frac{M_{\mathrm{CO}_2}+M_{\rm ar}}{M_{\mathrm{CO}_2}\,M_{\rm ar}}}\, \bigl(V_{\mathrm{CO}_2}^{1/3} + V_{\rm ar}^{1/3}\bigr)^{2}}.
Tomamos V_{\mathrm{CO}_2}=26{,}9, V_{\rm ar}=20{,}1. Calcula-se \sqrt{\frac{73}{44\cdot29}}\approx0{,}239, \bigl(26{,}9^{1/3}+20{,}1^{1/3}\bigr)^2\approx32{,}6, T^{1{,}75}\approx2{,}45\times10^{4}.
Assim
D \approx \frac{0{,}00143\cdot2{,}45\times10^{4}}{1\cdot0{,}239\cdot32{,}6} \approx4{,}5\\ \mathrm{cm^2/s} =4{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{m^2/s}.

Passo 5

Para extrapolar dados experimentais da Tabela J.1 seria necessário ter em mãos os valores de D em várias temperaturas e ajustar (por exemplo) D\propto T^n. Como a Tabela J.1 não foi fornecida, não há como calcular o valor extrapolado.

Resposta

A) D_{\rm cinética}=1{,}36\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}é
B) D_{\rm Hirschfelder}=1{,}11\times10^{-5}\,\mathrm{m^2/s}
C) D_{\rm Fuller}=4{,}5\times10^{-4}\,\mathrm{m^2/s}
D) Não é possível extrapolar sem os dados da Tabela J.1.

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