Calcule o coeficiente de dilatação volumétrica de um gás ideal durante uma expansão adiabática.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente de dilatação volumétrica de um gás ideal quando ele se expande adiabaticamente. Esse coeficiente, que chamaremos de beta, mede como o volume varia com a temperatura ao longo de um processo adiabático, usando leis da termodinâmica de gases ideais.

Passo 2

Por definição, o coeficiente de dilatação volumétrica ao longo de um processo qualquer é
beta ;=;1V,dVdT(mantendo o tipo de processo definido)

Passo 3

Numa expansão adiabática de gás ideal temos duas relações fundamentais:
P,V^gamma = constante e P,V = R,T,
onde gamma = tfraccpcv é a razão dos calores específicos.

Passo 4

Para eliminar P, igualamos P = tfracR,TV na relação adiabática:
l(tfracR,TVr),V^gamma = constante Longrightarrow R,T,V^gamma-1 = constante
Como R é constante, definimos K = R^-1timesconstante e obtemos
T,V^gamma-1 = constanteLongrightarrow V^gamma-1 = constanteT

Passo 5

Agora diferenciamos a relação T,V^gamma-1= const em relação a T:
dl(T,V^gamma-1r)=0 Rightarrow V^gamma-1,dT + T,( gamma-1),V^gamma-2,dV = 0
Isolando tfracdVdT:
V^gamma-1 = -,T,(gamma-1),V^gamma-2,dVdT Longrightarrow dVdT = -,V(gamma-1),T

Passo 6

Substituindo em beta=tfrac1V,tfracdVdT, obtemos:
beta = 1V,l(-V(gamma-1),Tr) = -,1(gamma-1),T

Resposta

boxedbeta = -,1(gamma-1),T

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